A estrutura abaixo é constituída por barras de aço, com pesos próprios desprezíveis e seções circulares com diâmetros de 10 mm (barras 1 e 2) e 20 mm (barra 3). Aplica-se no ponto D uma carga vertical de 100 kN ao mesmo tempo em que as barras 1 e 2 sofrem uma variação de temperatura de
. Desconsiderando a flambagem em barras comprimidas, determine: a) as reações de apoio; b) o deslocamento vertical relativo do ponto D. Considere que a barra 3 se desloca somente na vertical. Dados:
. [Resposta: a)
para a direita;
para cima;
para a esquerda;
para cima; b)
vertical para baixo].
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma estrutura feita de barras de aço com diferentes diâmetros. No ponto D, tá sendo aplicada uma carga vertical de 100 kN e, ao mesmo tempo, as barras 1 e 2 estão esquentando 200°C. Nosso objetivo é encontrar as reações nos apoios (a) e o deslocamento vertical do ponto D (b).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática para encontrar as reações e de mecânica dos materiais para calcular o deslocamento. Vamos precisar das propriedades dos materiais, como o módulo de elasticidade (E) e o coeficiente de dilatação térmica (α), além das fórmulas para equilíbrio de forças e deformações.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as forças atuando na estrutura. Temos a carga de 100 kN no ponto D e os efeitos da variação de temperatura nas barras 1 e 2, que vão causar tensão nas barras devido à expansão térmica. Como as barras 1 e 2 estão restritas, essa expansão vai gerar forças internas que vão afetar as reações nos apoios.
Passo 3
Vamos calcular as forças térmicas geradas pela variação de temperatura nas barras 1 e 2. A força térmica (F_t) pode ser calculada pela fórmula:
Onde:
-
é o módulo de elasticidade, -
é o coeficiente de dilatação térmica, -
é a variação de temperatura, -
é a área da seção transversal da barra.
Vamos calcular a área das barras 1 e 2, que têm diâmetro de 10 mm:
Convertendo para metros quadrados:
Agora, calculamos a força térmica:
Passo 4
Depois de encontrar as forças térmicas nas barras 1 e 2, vamos considerar a carga vertical de 100 kN no ponto D. Com isso, podemos montar as equações de equilíbrio para a estrutura. Como a estrutura está em equilíbrio, a soma das forças horizontais e verticais deve ser zero.
Vamos somar as forças horizontais (devido às forças térmicas) e as forças verticais (incluindo a carga aplicada e as reações nos apoios).
Passo 5
Resolvendo as equações de equilíbrio, vamos encontrar as reações nos apoios A e B. Isso vai nos dar os valores de
,
,
e
.
Passo 6
Agora que temos as reações nos apoios, vamos calcular o deslocamento vertical do ponto D. Para isso, usamos a fórmula de deformação:
Onde:
-
é a carga aplicada, -
é o comprimento da barra, -
é a área da seção transversal, -
é o módulo de elasticidade.
Vamos considerar as deformações causadas tanto pela carga vertical quanto pela variação de temperatura.
Resposta
a) As reações de apoio são:
-
para a direita; -
para cima; -
para a esquerda; -
para cima.
b) O deslocamento vertical relativo do ponto D é
para baixo.