A estrutura abaixo é constituída por barras de aço, com pesos próprios desprezíveis e seções circulares com diâmetros de 10 mm (barras 1 e 2) e 20 mm (barra 3). Aplica-se no ponto D uma carga vertical de 100 kN ao mesmo tempo em que as barras 1 e 2 sofrem uma variação de temperatura de +200^circ C. Desconsiderando a flambagem em barras comprimidas, determine: a) as reações de apoio; b) o deslocamento vertical relativo do ponto D. Considere que a barra 3 se desloca somente na vertical. Dados: E aço =200 GPa ; alpha=ç 16,7 times 10^-6 / ^circ C. [Resposta: a) RHA=3 7 , 5 k N para a direita; RVA=5 0 , 0 k N para cima; RH B=37,5 kN para a esquerda; R vB =5 0 , 0 k N para cima; b) de vertical para baixo].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma estrutura feita de barras de aço com diferentes diâmetros. No ponto D, tá sendo aplicada uma carga vertical de 100 kN e, ao mesmo tempo, as barras 1 e 2 estão esquentando 200°C. Nosso objetivo é encontrar as reações nos apoios (a) e o deslocamento vertical do ponto D (b).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática para encontrar as reações e de mecânica dos materiais para calcular o deslocamento. Vamos precisar das propriedades dos materiais, como o módulo de elasticidade (E) e o coeficiente de dilatação térmica (α), além das fórmulas para equilíbrio de forças e deformações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças atuando na estrutura. Temos a carga de 100 kN no ponto D e os efeitos da variação de temperatura nas barras 1 e 2, que vão causar tensão nas barras devido à expansão térmica. Como as barras 1 e 2 estão restritas, essa expansão vai gerar forças internas que vão afetar as reações nos apoios.

Passo 3

Vamos calcular as forças térmicas geradas pela variação de temperatura nas barras 1 e 2. A força térmica (F_t) pode ser calculada pela fórmula:
Ft = E cdot alpha cdot De
Onde:
  • A = pi (d2)^2 = pi (102)^2 = 78,54 , mm² é o módulo de elasticidade,
  • A = 78,54 times 10^-6 , m² é o coeficiente de dilatação térmica,
  • Ft = 200 times 10^9 cdot 16,7 times 10^-6 cdot 200 cdot 78,54 times 10^-6 é a variação de temperatura,
  • é a área da seção transversal da barra.
Vamos calcular a área das barras 1 e 2, que têm diâmetro de 10 mm:
²
Convertendo para metros quadrados:
²
Agora, calculamos a força térmica:

Passo 4

Depois de encontrar as forças térmicas nas barras 1 e 2, vamos considerar a carga vertical de 100 kN no ponto D. Com isso, podemos montar as equações de equilíbrio para a estrutura. Como a estrutura está em equilíbrio, a soma das forças horizontais e verticais deve ser zero.
Vamos somar as forças horizontais (devido às forças térmicas) e as forças verticais (incluindo a carga aplicada e as reações nos apoios).

Passo 5

Resolvendo as equações de equilíbrio, vamos encontrar as reações nos apoios A e B. Isso vai nos dar os valores de , , e .

Passo 6

Agora que temos as reações nos apoios, vamos calcular o deslocamento vertical do ponto D. Para isso, usamos a fórmula de deformação:
de
Onde:
  • é a carga aplicada,
  • é o comprimento da barra,
  • é a área da seção transversal,
  • é o módulo de elasticidade.
Vamos considerar as deformações causadas tanto pela carga vertical quanto pela variação de temperatura.

Resposta

a) As reações de apoio são:
  • para a direita;
  • para cima;
  • para a esquerda;
  • para cima.
b) O deslocamento vertical relativo do ponto D é para baixo.

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