O eixo da hélice do hidrofólio é de aço A-36 e tem 30 m de comprimento. Está acoplado a um motor diesel em linha, o qual transmite uma potência máxima de 2.000 kW e provoca rotação de 1.700 rpm no eixo. Se o diâmetro externo do eixo for 200 mm e a espessura da parede for 10 mm, determine a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida no eixo. Determine também o ângulo de torção no eixo à potência total.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Estamos lidando com mecânica dos materiais, especificamente com torção em eixos. O que a gente precisa aqui é descobrir duas coisas: a tensão de cisalhamento máxima no eixo e o ângulo de torção causado pela potência que o motor está transmitindo. Para isso, vamos precisar usar fórmulas de torção em eixos circulares, e também considerar algumas propriedades do aço A-36, que é o material do eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a situação. Temos um eixo de aço A-36 com comprimento de 30 metros, acoplado a um motor que fornece uma potência máxima de 2.000 kW e faz o eixo girar a 1.700 rotações por minuto (rpm). O diâmetro externo do eixo é de 200 mm e a espessura da parede é de 10 mm. Nosso objetivo é achar a tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção nesse eixo sob essas condições.

Passo 3

Vamos começar calculando o torque (T) que está sendo aplicado no eixo. A potência § está relacionada ao torque e à velocidade angular (ω) pela fórmula:
P = T times omega
Mas primeiro, precisamos converter a velocidade de rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo (rad/s):
omega = 2 pi N60
Onde:
  • $ N = 1700 $ rpm
Vamos calcular:
N = 1700
Agora, rearranjando a fórmula para encontrar o torque:
omega = 2 pi times 170060 approx 178.04 , rad/s
Convertendo a potência de kW para W:
T = Pomega
Então:
P = 2000 times 10^3 = 2 times 10^6 , W

Passo 4

Agora que temos o torque, vamos calcular a tensão de cisalhamento máxima ($ \tau_{max} $) no eixo. Para eixos circulares ocos, a fórmula da tensão de cisalhamento máxima é:
taumax
Onde:
  • $ T $ é o torque
  • $ c $ é o raio externo
  • $ J $ é o momento polar de inércia
Primeiro, vamos encontrar $ c $. O diâmetro externo é 200 mm, então o raio externo é:
taumax = T cdot cJ
Agora, precisamos calcular $ J $ para um eixo oco:
T
Onde:
  • $ D_o = 200 , mm = 0.2 , m $
  • $ D_i $ é o diâmetro interno. Como a espessura da parede é 10 mm, $ D_i = 200 - 2 \times 10 = 180 , mm = 0.18 , m $
Vamos calcular $ J $:
c
J
c
c = 2002 = 100 , mm = 0.1 , m

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula da tensão de cisalhamento máxima:
taumax = 11235 times 0.10.000863
taumax approx 1123.50.000863
taumax approx 1.301 times 10^6 , Pa
taumax approx 1.301 , MPa

Passo 6

Agora, vamos calcular o ângulo de torção ($ \theta $) no eixo. A fórmula para o ângulo de torção é:
theta
Onde:
  • $ T $ é o torque
  • $ L $ é o comprimento do eixo
  • $ J $ é o momento polar de inércia
  • $ G $ é o módulo de cisalhamento do material
Para o aço A-36, o módulo de cisalhamento ($ G $) é aproximadamente $ 80 , GPa = 80 \times 10^9 , Pa $
Substituindo os valores:
theta = T cdot LJ cdot G
T
L
Para converter para graus:
J

Resposta

A tensão de cisalhamento máxima desenvolvida no eixo é aproximadamente 1,301 MPa e o ângulo de torção no eixo à potência total é de cerca de 0,28 graus.

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