O eixo da hélice do hidrofólio é de aço A-36 e tem 30 m de comprimento. Está acoplado a um motor diesel em linha, o qual transmite uma potência máxima de 2.000 kW e provoca rotação de 1.700 rpm no eixo. Se o diâmetro externo do eixo for 200 mm e a espessura da parede for 10 mm, determine a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida no eixo. Determine também o ângulo de torção no eixo à potência total.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Estamos lidando com mecânica dos materiais, especificamente com torção em eixos. O que a gente precisa aqui é descobrir duas coisas: a tensão de cisalhamento máxima no eixo e o ângulo de torção causado pela potência que o motor está transmitindo. Para isso, vamos precisar usar fórmulas de torção em eixos circulares, e também considerar algumas propriedades do aço A-36, que é o material do eixo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a situação. Temos um eixo de aço A-36 com comprimento de 30 metros, acoplado a um motor que fornece uma potência máxima de 2.000 kW e faz o eixo girar a 1.700 rotações por minuto (rpm). O diâmetro externo do eixo é de 200 mm e a espessura da parede é de 10 mm. Nosso objetivo é achar a tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção nesse eixo sob essas condições.
Passo 3
Vamos começar calculando o torque (T) que está sendo aplicado no eixo. A potência § está relacionada ao torque e à velocidade angular (ω) pela fórmula:
Mas primeiro, precisamos converter a velocidade de rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo (rad/s):
Onde:
- $ N = 1700 $ rpm
Vamos calcular:
Agora, rearranjando a fórmula para encontrar o torque:
Convertendo a potência de kW para W:
Então:
Passo 4
Agora que temos o torque, vamos calcular a tensão de cisalhamento máxima ($ \tau_{max} $) no eixo. Para eixos circulares ocos, a fórmula da tensão de cisalhamento máxima é:
Onde:
- $ T $ é o torque
- $ c $ é o raio externo
- $ J $ é o momento polar de inércia
Primeiro, vamos encontrar $ c $. O diâmetro externo é 200 mm, então o raio externo é:
Agora, precisamos calcular $ J $ para um eixo oco:
Onde:
- $ D_o = 200 , mm = 0.2 , m $
- $ D_i $ é o diâmetro interno. Como a espessura da parede é 10 mm, $ D_i = 200 - 2 \times 10 = 180 , mm = 0.18 , m $
Vamos calcular $ J $:
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula da tensão de cisalhamento máxima:
Passo 6
Agora, vamos calcular o ângulo de torção ($ \theta $) no eixo. A fórmula para o ângulo de torção é:
Onde:
- $ T $ é o torque
- $ L $ é o comprimento do eixo
- $ J $ é o momento polar de inércia
- $ G $ é o módulo de cisalhamento do material
Para o aço A-36, o módulo de cisalhamento ($ G $) é aproximadamente $ 80 , GPa = 80 \times 10^9 , Pa $
Substituindo os valores:
Para converter para graus:
Resposta
A tensão de cisalhamento máxima desenvolvida no eixo é aproximadamente 1,301 MPa e o ângulo de torção no eixo à potência total é de cerca de 0,28 graus.