Um eixo está submetido a um torque que varia de zero a 1350 Nm e um momento fletor que varia de 680 Nm a 1130 Nm . O fator de concentração de tensão por fadiga é o mesmo e igual a 2,5 . O eixo possui e . Considerando um fator de segurança igual a 2 , calcule o diâmetro do eixo para vida infinita pelo critério de Goodman.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um eixo que tá sofrendo variações de torque e momento fletor, e a gente quer descobrir qual o diâmetro ideal desse eixo para garantir que ele dure pra sempre sem falhar, usando o critério de Goodman. Vamos usar conceitos de resistência dos materiais, como tensão e fator de segurança, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que a gente tem:
  • Torque varia de 0 a 1350 Nm
  • Momento fletor varia de 680 Nm a 1130 Nm
  • Fator de concentração de tensão por fadiga: 2,5
  • Limite de resistência à tração ( ) = 400 MPa
  • Limite de escoamento ( ) = 270 MPa
  • Limite de resistência à fadiga ( ) = 160 MPa
  • Fator de segurança: 2
A gente quer encontrar o diâmetro do eixo ( ) para que ele tenha uma vida infinita aplicando o critério de Goodman.

Passo 3

Vamos começar calculando a tensão alternada e a tensão média para o torque e para o momento fletor.
Primeiro, para o torque:
A variação de torque é de 0 a 1350 Nm, então o torque alterna entre á Nm e í Nm.
A tensão no eixo devido ao torque é dada por:
Onde:
  • é o raio do eixo ( )
  • é o momento de inércia polar para uma seção circular:
Simplificando, a tensão devido ao torque fica:
A tensão alternada no torque ( ) é:
áí
Como não há tensão média no torque (já que vai de 0 a máximo), áí, mas como a tensão mínima é zero, a média também é metade da máxima.

Passo 4

Agora, para o momento fletor:
A variação do momento fletor é de 680 Nm a 1130 Nm, então:
Momento alternado ( ) = Nm
Momento médio ( ) = Nm
A tensão devido ao momento fletor é:
Onde é o momento de inércia para seção circular:
Simplificando:
Assim, a tensão alternada no momento fletor ( ) é:
E a tensão média ( ) é:

Passo 5

Como temos tanto torques quanto momentos fletor, precisamos considerar a tensão resultante pela superposição dessas tensões. Para isso, aplicamos a teoria de combinação de tensões alternadas e médias.
A tensão alternada total ( ) é a soma das tensões alternadas de torque e momento fletor:
A tensão média total ( ) é a soma das tensões médias de torque e momento fletor:

Passo 6

Agora, vamos aplicar o critério de Goodman para garantir que o eixo tenha vida infinita. O critério de Goodman relaciona a tensão média ( ) e a tensão alternada ( ) com o limite de fadiga e o limite de escoamento.
A fórmula do critério de Goodman é:
Onde:
  • é o limite de resistência à fadiga ajustado pelo fator de concentração de tensão
  • é o limite de resistência à tração
  • FS é o fator de segurança
Primeiro, vamos calcular ajustado:
Agora, substituindo os valores na equação de Goodman:

Passo 7

Simplificando a equação:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Agora, isolando :

Passo 9

Finalmente, calculando o diâmetro :

Resposta

O diâmetro do eixo para garantir vida infinita pelo critério de Goodman é aproximadamente 4,43 cm.

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