Um eixo está submetido a um torque que varia de zero a 1350 Nm e um momento fletor que varia de 680 Nm a 1130 Nm . O fator de concentração de tensão por fadiga é o mesmo e igual a 2,5 . O eixo possui Su=400 MPa e Sy=270 MPa, Sn=160 MPa. Considerando um fator de segurança igual a 2 , calcule o diâmetro do eixo para vida infinita pelo critério de Goodman.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um eixo que tá sofrendo variações de torque e momento fletor, e a gente quer descobrir qual o diâmetro ideal desse eixo para garantir que ele dure pra sempre sem falhar, usando o critério de Goodman. Vamos usar conceitos de resistência dos materiais, como tensão e fator de segurança, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que a gente tem:
  • Torque varia de 0 a 1350 Nm
  • Momento fletor varia de 680 Nm a 1130 Nm
  • Fator de concentração de tensão por fadiga: 2,5
  • Limite de resistência à tração ( Su) = 400 MPa
  • Limite de escoamento ( Sy) = 270 MPa
  • Limite de resistência à fadiga ( Sn) = 160 MPa
  • Fator de segurança: 2
A gente quer encontrar o diâmetro do eixo ( d) para que ele tenha uma vida infinita aplicando o critério de Goodman.

Passo 3

Vamos começar calculando a tensão alternada e a tensão média para o torque e para o momento fletor.
Primeiro, para o torque:
A variação de torque é de 0 a 1350 Nm, então o torque alterna entre Tmáx = 1350á Nm e Tmín = 0í Nm.
A tensão no eixo devido ao torque é dada por:
sigmaT = T cdot cJ
Onde:
  • c é o raio do eixo ( d/2)
  • J é o momento de inércia polar para uma seção circular: J = pi d^432
Simplificando, a tensão devido ao torque fica:
sigmaT = 16Tpi d^3
A tensão alternada no torque ( sigmaTa) é:
sigmaTa = sigmaTmáx - sigmaTmín2 = 16 cdot 1350pi d^3 / 2 = 10800pi d^3 , MPa áí
Como não há tensão média no torque (já que vai de 0 a máximo), sigmaTm = sigmaTmáx + sigmaTmín2 = 13502 pi d^3áí, mas como a tensão mínima é zero, a média também é metade da máxima.

Passo 4

Agora, para o momento fletor:
A variação do momento fletor é de 680 Nm a 1130 Nm, então:
Momento alternado ( Ma) = 1130 - 6802 = 225 Nm
Momento médio ( Mm) = 680 + 11302 = 907.5 Nm
A tensão devido ao momento fletor é:
sigmaM = M cdot cI
Onde I é o momento de inércia para seção circular: I = pi d^464
Simplificando:
sigmaM = 32Mpi d^3
Assim, a tensão alternada no momento fletor ( sigmaMa) é:
sigmaMa = 32 cdot 225pi d^3 = 7200pi d^3 , MPa
E a tensão média ( sigmaMm) é:
sigmaMm = 32 cdot 907.5pi d^3 = 29,040pi d^3 , MPa

Passo 5

Como temos tanto torques quanto momentos fletor, precisamos considerar a tensão resultante pela superposição dessas tensões. Para isso, aplicamos a teoria de combinação de tensões alternadas e médias.
A tensão alternada total ( sigmaa) é a soma das tensões alternadas de torque e momento fletor:
sigmaa = sigmaTa + sigmaMa = 10800pi d^3 + 7200pi d^3 = 18000pi d^3
A tensão média total ( sigmam) é a soma das tensões médias de torque e momento fletor:
sigmam = sigmaTm + sigmaMm = 6750pi d^3 + 29,040pi d^3 = 35,790pi d^3

Passo 6

Agora, vamos aplicar o critério de Goodman para garantir que o eixo tenha vida infinita. O critério de Goodman relaciona a tensão média ( sigmam) e a tensão alternada ( sigmaa) com o limite de fadiga e o limite de escoamento.
A fórmula do critério de Goodman é:
sigmaaSn + sigmamSu = 1FS
Onde:
  • Sn é o limite de resistência à fadiga ajustado pelo fator de concentração de tensão
  • Su é o limite de resistência à tração
  • FS é o fator de segurança
Primeiro, vamos calcular Sn ajustado:
Sn = 160 , MPa times 2,5 = 400 , MPa
Agora, substituindo os valores na equação de Goodman:
18000pi d^3400 + 35,790pi d^3400 = 12

Passo 7

Simplificando a equação:
18000 + 35,790400 pi d^3 = 12
53,790400 pi d^3 = 12
Multiplicando ambos os lados por 400 pi d^3:
53,790 = 200 pi d^3

Passo 8

Agora, isolando d^3:
d^3 = 53,790200 pi
d^3 = 53,790628.318 approx 85.63 , cm^3

Passo 9

Finalmente, calculando o diâmetro d:
d = raiz[3]85.63 approx 4.43 , cm

Resposta

O diâmetro do eixo para garantir vida infinita pelo critério de Goodman é aproximadamente 4,43 cm.

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