Um eixo está submetido a um torque que varia de zero a 1350 Nm e um momento fletor que varia de 680 Nm a 1130 Nm . O fator de concentração de tensão por fadiga é o mesmo e igual a 2,5 . O eixo possui e . Considerando um fator de segurança igual a 2 , calcule o diâmetro do eixo para vida infinita pelo critério de Goodman.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um eixo que tá sofrendo variações de torque e momento fletor, e a gente quer descobrir qual o diâmetro ideal desse eixo para garantir que ele dure pra sempre sem falhar, usando o critério de Goodman. Vamos usar conceitos de resistência dos materiais, como tensão e fator de segurança, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que a gente tem:
Torque varia de 0 a 1350 Nm
Momento fletor varia de 680 Nm a 1130 Nm
Fator de concentração de tensão por fadiga: 2,5
Limite de resistência à tração () = 400 MPa
Limite de escoamento () = 270 MPa
Limite de resistência à fadiga () = 160 MPa
Fator de segurança: 2
A gente quer encontrar o diâmetro do eixo () para que ele tenha uma vida infinita aplicando o critério de Goodman.
Passo 3
Vamos começar calculando a tensão alternada e a tensão média para o torque e para o momento fletor.
Primeiro, para o torque:
A variação de torque é de 0 a 1350 Nm, então o torque alterna entre Nm e Nm.
A tensão no eixo devido ao torque é dada por:
Onde:
é o raio do eixo ()
é o momento de inércia polar para uma seção circular:
Simplificando, a tensão devido ao torque fica:
A tensão alternada no torque () é:
Como não há tensão média no torque (já que vai de 0 a máximo), , mas como a tensão mínima é zero, a média também é metade da máxima.
Passo 4
Agora, para o momento fletor:
A variação do momento fletor é de 680 Nm a 1130 Nm, então:
Momento alternado () = Nm
Momento médio () = Nm
A tensão devido ao momento fletor é:
Onde é o momento de inércia para seção circular:
Simplificando:
Assim, a tensão alternada no momento fletor () é:
E a tensão média () é:
Passo 5
Como temos tanto torques quanto momentos fletor, precisamos considerar a tensão resultante pela superposição dessas tensões. Para isso, aplicamos a teoria de combinação de tensões alternadas e médias.
A tensão alternada total () é a soma das tensões alternadas de torque e momento fletor:
A tensão média total () é a soma das tensões médias de torque e momento fletor:
Passo 6
Agora, vamos aplicar o critério de Goodman para garantir que o eixo tenha vida infinita. O critério de Goodman relaciona a tensão média () e a tensão alternada () com o limite de fadiga e o limite de escoamento.
A fórmula do critério de Goodman é:
Onde:
é o limite de resistência à fadiga ajustado pelo fator de concentração de tensão
é o limite de resistência à tração
FS é o fator de segurança
Primeiro, vamos calcular ajustado:
Agora, substituindo os valores na equação de Goodman:
Passo 7
Simplificando a equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Passo 8
Agora, isolando :
Passo 9
Finalmente, calculando o diâmetro :
Resposta
O diâmetro do eixo para garantir vida infinita pelo critério de Goodman é aproximadamente 4,43 cm.