Um eixo está submetido a um torque que varia de zero a 1350 Nm e um momento fletor que varia de 680 Nm a 1130 Nm . O fator de concentração de tensão por fadiga é o mesmo e igual a 2,5 . O eixo possui
e
. Considerando um fator de segurança igual a 2 , calcule o diâmetro do eixo para vida infinita pelo critério de Goodman.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um eixo que tá sofrendo variações de torque e momento fletor, e a gente quer descobrir qual o diâmetro ideal desse eixo para garantir que ele dure pra sempre sem falhar, usando o critério de Goodman. Vamos usar conceitos de resistência dos materiais, como tensão e fator de segurança, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que a gente tem:
- Torque varia de 0 a 1350 Nm
- Momento fletor varia de 680 Nm a 1130 Nm
- Fator de concentração de tensão por fadiga: 2,5
- Limite de resistência à tração (
) = 400 MPa - Limite de escoamento (
) = 270 MPa - Limite de resistência à fadiga (
) = 160 MPa - Fator de segurança: 2
A gente quer encontrar o diâmetro do eixo (
) para que ele tenha uma vida infinita aplicando o critério de Goodman.
Passo 3
Vamos começar calculando a tensão alternada e a tensão média para o torque e para o momento fletor.
Primeiro, para o torque:
A variação de torque é de 0 a 1350 Nm, então o torque alterna entre
Nm e
Nm.
A tensão no eixo devido ao torque é dada por:
Onde:
-
é o raio do eixo ( ) -
é o momento de inércia polar para uma seção circular:
Simplificando, a tensão devido ao torque fica:
A tensão alternada no torque (
) é:
Como não há tensão média no torque (já que vai de 0 a máximo),
, mas como a tensão mínima é zero, a média também é metade da máxima.
Passo 4
Agora, para o momento fletor:
A variação do momento fletor é de 680 Nm a 1130 Nm, então:
Momento alternado (
) =
Nm
Momento médio (
) =
Nm
A tensão devido ao momento fletor é:
Onde
é o momento de inércia para seção circular:
Simplificando:
Assim, a tensão alternada no momento fletor (
) é:
E a tensão média (
) é:
Passo 5
Como temos tanto torques quanto momentos fletor, precisamos considerar a tensão resultante pela superposição dessas tensões. Para isso, aplicamos a teoria de combinação de tensões alternadas e médias.
A tensão alternada total (
) é a soma das tensões alternadas de torque e momento fletor:
A tensão média total (
) é a soma das tensões médias de torque e momento fletor:
Passo 6
Agora, vamos aplicar o critério de Goodman para garantir que o eixo tenha vida infinita. O critério de Goodman relaciona a tensão média (
) e a tensão alternada (
) com o limite de fadiga e o limite de escoamento.
A fórmula do critério de Goodman é:
Onde:
-
é o limite de resistência à fadiga ajustado pelo fator de concentração de tensão -
é o limite de resistência à tração - FS é o fator de segurança
Primeiro, vamos calcular
ajustado:
Agora, substituindo os valores na equação de Goodman:
Passo 7
Simplificando a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Agora, isolando
:
Passo 9
Finalmente, calculando o diâmetro
:
Resposta
O diâmetro do eixo para garantir vida infinita pelo critério de Goodman é aproximadamente 4,43 cm.