3^a Questão - Uma barra cilíndrica de aço de E =210 GPa, com 6 m de comprimento, deve suportar uma carga axial de tração de 10 kN . Sabendo que a tensão admissível é de 120 MPa e que a variação máxima no comprimento permitida é de 2,5mm, calcular o diâmetro mínimo da barra. RESP: d min =1,2 cm

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma barra cilíndrica de aço que precisa suportar uma carga de tração. O que vamos precisar é usar conceitos de tensão mecânica e deformação, além de algumas fórmulas básicas de resistência dos materiais. Nosso objetivo é descobrir qual é o diâmetro mínimo dessa barra para que ela suporte a carga sem esticar mais do que o permitido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a tensão admissível. Tensão ( sigma = FA ) é a força aplicada dividida pela área da seção transversal da barra. A fórmula é:
A = Fsigma
Onde:
  • é a força de tração (10 kN = 10.000 N)
  • é a área da seção transversal
  • é a tensão admissível (120 MPa = 120.000.000 Pa)
Queremos que a tensão na barra não ultrapasse a admissível, então rearranjamos a fórmula para encontrar a área mínima:

Passo 3

Vamos calcular a área mínima:
A = 10.000 , N120.000.000 , Pa = 10.000120.000.000 , m^2 = 8,333 times 10^-5 , m^2

Passo 4

Agora, precisamos relacionar essa área com o diâmetro da barra. A área da seção transversal de uma barra cilíndrica é dada por:
A = pi d^24
Vamos resolver para d = raiz4Api :
d = raiz4 times 8,333 times 10^-5pi approx raiz0,00033333,1416 approx raiz0,0001061 approx 0,0103 , m
Substituindo o valor de d approx 1,03 , cm :
Convertendo para centímetros:

Passo 5

Agora, precisamos verificar a deformação máxima permitida. A deformação ( De) pode ser calculada usando a fórmula:
A = F LE De
Onde:
  • A approx 1,143 times 10^-4 , m^2 é o comprimento da barra (6 m)
  • d = raiz4 times 1,143 times 10^-4pi approx raiz0,00045723,1416 approx raiz0,0001456 approx 0,01207 , m approx 1,207 , cm é o módulo de elasticidade (210 GPa = 210.000.000.000 Pa)
  • é a variação máxima permitida (2,5 mm = 0,0025 m)
Vamos rearranjar para encontrar a área mínima necessária:
Convertendo para metros quadrados:
Calculando o diâmetro:

Resposta

O diâmetro mínimo da barra é aproximadamente .

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