4^ a Questão - Um fio de aço de alta resistência ( 3,0 mm de diâmetro) sofre um estiramento de 37,1 mm quando 15 metros desse fio são estirados por uma força de 3,5 kN. (a) Qual é o módulo de elasticidade E do aço? (b) Se o diâmetro do fio diminui em 0,0022 mm, qual é o coeficiente de Poisson?
RESP: a) E=200 G P a ; b) v=0,30

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fio de aço com diâmetro inicial de 3,0 mm que se estende 37,1 mm quando uma força de 3,5 kN é aplicada em 15 metros desse fio. A matéria envolvida aqui é a Mecânica dos Materiais, especificamente sobre Elasticidade. Para resolver a parte (a), precisamos calcular o Módulo de Elasticidade ( E). Para isso, vamos utilizar a fórmula que relaciona força, deformação e propriedades do material.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos:
  • Diâmetro do fio: d = 3,0 mm = 0,003 m
  • Estiramento: De
  • Comprimento inicial: L = 15 m
  • Força aplicada: F = 3,5 kN = 3500 N

Passo 3

O Módulo de Elasticidade ( E), também conhecido como Módulo de Young, é dado pela relação:
E = sigmavarepsilon
Onde:
  • sigma é a tensão (stress) no material.
  • varepsilon é a deformação (strain) no material.

Passo 4

Vamos calcular a tensão ( sigma). A tensão �� a força dividida pela área da seção transversal:
sigma = FA
Onde A é a área da seção transversal do fio, que para um fio circular é:
A = pi (d2)^2
Substituindo os valores:
A = pi (0,0032)^2 = pi times (0,0015)^2 approx 7,07 times 10^-6 m^2
Então,
sigma = 35007,07 times 10^-6 approx 4,95 times 10^8 Pa = 495 MPa

Passo 5

Agora, vamos calcular a deformação ( varepsilon). A deformação é o estiramento dividido pelo comprimento inicial:
varepsilon = De

Passo 6

Com sigma e varepsilon calculados, podemos determinar o Módulo de Elasticidade ( E):
E = sigmavarepsilon = 4,95 times 10^80,002473 approx 2,0 times 10^11 Pa = 200 GPa

Resposta

a) E = 200 GPa

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