For a single degree of freedom forced undamped system, k=50 lb / in, m=0.2 lbs^2 / in, and F=15 lb. The forcing function has a circular frequency of 19.76 rad / sac. The initial conditions are x(0)=2 inches and dotx(0)=1 in / sec. Determine
b) the amplitude of the forced response

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de grau de liberdade único forçado e sem amortecimento. Os dados fornecidos são:
  • Constante elástica,
  • Massa,
  • Força aplicada,
  • Frequência circular da força,
  • Condições iniciais: e
Queremos determinar a amplitude da resposta forçada desse sistema. Para isso, vamos utilizar conceitos de sistemas dinâmicos forçados sem amortecimento.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a equação de movimento para um sistema de grau de liberdade forçado e sem amortecimento. A equação geral é:
m ddotx(t) + k x(t) = F cos(omega t)
Onde:
  • é a massa
  • é a constante elástica
  • é a amplitude da força aplicada
  • é a frequência angular da força
  • é o deslocamento em função do tempo

Passo 3

Para resolver essa equação, buscamos uma solução particular para a resposta forçada. Em sistemas sem amortecimento, a amplitude da resposta forçada é dada por:
X = Fk - m omega^2
Essa fórmula nos dá a amplitude da oscilação causada apenas pela força externa, ignorando as condições iniciais.

Passo 4

Vamos substituir os valores fornecidos na fórmula:
X = 15 , lb50 , lb/in - 0,2 , lb cdot s^2/in times (19,76 , rad/s)^2

Passo 5

Calculando o denominador:
50 - 0,2 times (19,76)^2 = 50 - 0,2 times 390,4976 = 50 - 78,0995 = -28,0995 , lb/in

Passo 6

Agora, substituímos de volta na fórmula da amplitude:
X = 15-28,0995 approx -0,534 , in
O sinal negativo indica que a fase da resposta está invertida em relação à força aplicada, mas estamos interessados apenas na amplitude.

Resposta

A amplitude da resposta forçada é aproximadamente .

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