For a single degree of freedom forced undamped system,
, and
. The forcing function has a circular frequency of
. The initial conditions are
inches and
. Determine
b) the amplitude of the forced response
b) the amplitude of the forced response
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de grau de liberdade único forçado e sem amortecimento. Os dados fornecidos são:
- Constante elástica,
- Massa,
- Força aplicada,
- Frequência circular da força,
- Condições iniciais:
e
Queremos determinar a amplitude da resposta forçada desse sistema. Para isso, vamos utilizar conceitos de sistemas dinâmicos forçados sem amortecimento.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a equação de movimento para um sistema de grau de liberdade forçado e sem amortecimento. A equação geral é:
Onde:
-
é a massa -
é a constante elástica -
é a amplitude da força aplicada -
é a frequência angular da força -
é o deslocamento em função do tempo
Passo 3
Para resolver essa equação, buscamos uma solução particular para a resposta forçada. Em sistemas sem amortecimento, a amplitude da resposta forçada é dada por:
Essa fórmula nos dá a amplitude da oscilação causada apenas pela força externa, ignorando as condições iniciais.
Passo 4
Vamos substituir os valores fornecidos na fórmula:
Passo 5
Calculando o denominador:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na fórmula da amplitude:
O sinal negativo indica que a fase da resposta está invertida em relação à força aplicada, mas estamos interessados apenas na amplitude.
Resposta
A amplitude da resposta forçada é aproximadamente
.