Os elefantes têm um tempo de gestação de 21 meses. Suponha que uma elefanta recém-fecundada seja colocada a bordo de uma espaçonave e enviada para o espaço a uma velocidade
. Se houver um microfone na espaçonave acoplado a um transmissor de rádio, quanto tempo a base levará para ouvir o primeiro barrido do filhote recém-nascido?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma elefanta grávida de 21 meses que é colocada numa nave espacial indo a 0,75 vezes a velocidade da luz (0,75 c). Tem um microfone na nave que envia sinais de rádio para a base na Terra. Queremos saber quanto tempo a base vai levar para ouvir o primeiro “barrido” (som) do filhote recém-nascido. Vamos usar conceitos de relatividade especial para resolver isso, especificamente o dilatação do tempo e o efeito Doppler para comunicações a altas velocidades.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que quando um objeto se move a uma velocidade próxima à da luz, o tempo para ele desacelera em relação a um observador parado. Isso é chamado de dilatação do tempo. A fórmula para isso é:
onde:
-
é o tempo dilatado (tempo na Terra), -
é o tempo próprio (tempo na nave), -
é a velocidade da nave, -
é a velocidade da luz.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator de dilatação do tempo. Com
:
Passo 4
Usando a fórmula da dilatação do tempo:
Isso significa que, do ponto de vista da Terra, a gestação da elefanta parecerá durar cerca de 31,75 meses.
Passo 5
Agora, para saber quando a base vai ouvir o primeiro barrido do filhote, precisamos considerar o efeito Doppler para sinais de rádio. Quando a fonte se afasta, o sinal é deslocado para o vermelho, ou seja, leva mais tempo para chegar. A fórmula do deslocamento Doppler para ondas eletromagnéticas é:
Isso afeta o tempo que leva para as ondas chegarem à Terra.
Passo 6
Com
:
Isso significa que o tempo percorrido até o sinal chegar à Terra será aumentado por esse fator.
Passo 7
Multiplicando o tempo da gestação dilatado pelo fator Doppler:
Portanto, a base na Terra levará aproximadamente 12 meses para ouvir o primeiro barrido do filhote.
Resposta
A base levará aproximadamente 12 meses para ouvir o primeiro barrido do filhote recém-nascido.
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