Os elefantes têm um tempo de gestação de 21 meses. Suponha que uma elefanta recém-fecundada seja colocada a bordo de uma espaçonave e enviada para o espaço a uma velocidade v=0,75 c. Se houver um microfone na espaçonave acoplado a um transmissor de rádio, quanto tempo a base levará para ouvir o primeiro barrido do filhote recém-nascido?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma elefanta grávida de 21 meses que é colocada numa nave espacial indo a 0,75 vezes a velocidade da luz (0,75 c). Tem um microfone na nave que envia sinais de rádio para a base na Terra. Queremos saber quanto tempo a base vai levar para ouvir o primeiro “barrido” (som) do filhote recém-nascido. Vamos usar conceitos de relatividade especial para resolver isso, especificamente o dilatação do tempo e o efeito Doppler para comunicações a altas velocidades.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que quando um objeto se move a uma velocidade próxima à da luz, o tempo para ele desacelera em relação a um observador parado. Isso é chamado de dilatação do tempo. A fórmula para isso é:
t' = traiz1 - v^2c^2
onde:
  • é o tempo dilatado (tempo na Terra),
  • é o tempo próprio (tempo na nave),
  • é a velocidade da nave,
  • é a velocidade da luz.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator de dilatação do tempo. Com raiz1 - v^2c^2 = raiz1 - 0,75^2 = raiz1 - 0,5625 = raiz0,4375 approx 0,6614 :

Passo 4

Usando a fórmula da dilatação do tempo:
t' = 21 meses0,6614 approx 31,75 meses
Isso significa que, do ponto de vista da Terra, a gestação da elefanta parecerá durar cerca de 31,75 meses.

Passo 5

Agora, para saber quando a base vai ouvir o primeiro barrido do filhote, precisamos considerar o efeito Doppler para sinais de rádio. Quando a fonte se afasta, o sinal é deslocado para o vermelho, ou seja, leva mais tempo para chegar. A fórmula do deslocamento Doppler para ondas eletromagnéticas é:
f' = f raiz1 - vc1 + vc
Isso afeta o tempo que leva para as ondas chegarem à Terra.

Passo 6

Com raiz1 - 0,751 + 0,75 = raiz0,251,75 = raiz17 approx 0,377 :
Isso significa que o tempo percorrido até o sinal chegar à Terra será aumentado por esse fator.

Passo 7

Multiplicando o tempo da gestação dilatado pelo fator Doppler:
31,75 meses times 0,377 approx 11,96 meses
Portanto, a base na Terra levará aproximadamente 12 meses para ouvir o primeiro barrido do filhote.

Resposta

A base levará aproximadamente 12 meses para ouvir o primeiro barrido do filhote recém-nascido.

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