Suponha que dois prótons se aproximem da Terra vindo de direções opostas. As velocidades dos prótons, medidas no referencial da Terra, são v1=0,6 c e v2=-0,8 c. Qual é a velocidade da Terra medida no referencial de cada próton e qual a velocidade dos prótons um em relação ao outro?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois prótons se aproximando da Terra vindo de direções opostas, com velocidades de e no referencial da Terra. A gente vai precisar usar a Teoria da Relatividade Especial para calcular:
  1. A velocidade da Terra medida no referencial de cada próton.
  2. A velocidade de um próton em relação ao outro.
Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada velocidade:
  • : é a velocidade do primeiro próton em relação à Terra.
  • : é a velocidade do segundo próton em relação à Terra (o sinal negativo indica que vem na direção oposta).

Passo 3

Para achar a velocidade da Terra no referencial de cada próton, precisamos usar a Fórmula da Adição de Velocidades da Relatividade Especial:
v' = v - u1 - v cdot uc^2
Onde:
  • é a velocidade da Terra no referencial da Terra (que é 0, pois a Terra está em repouso em si mesma).
  • é a velocidade do próton no referencial da Terra.
  • é a velocidade da Terra no referencial do próton.

Passo 4

Vamos calcular para o primeiro próton ( v'Terra1 = 0 - 0,6,c1 - 0 cdot 0,6,cc^2 = -0,6,c1 = -0,6,c ):
Isso significa que, no referencial do primeiro próton, a Terra está se movendo para trás com uma velocidade de .

Passo 5

Agora, para o segundo próton ( v'Terra2 = 0 - (-0,8,c)1 - 0 cdot (-0,8,c)c^2 = 0,8,c1 = 0,8,c ):
Então, no referencial do segundo próton, a Terra está se movendo para frente com uma velocidade de .

Passo 6

Agora, vamos calcular a velocidade de um próton em relação ao outro. Para isso, usamos novamente a Fórmula da Adição de Velocidades:
vrel = v2 - v11 - v1 cdot v2c^2
Substituindo os valores:
vrel = -0,8,c - 0,6,c1 - 0,6,c cdot (-0,8,c)c^2 = -1,4,c1 + 0,48 = -1,4,c1,48 approx -0,9459,c
O sinal negativo indica que os prótons estão se movendo um em direção ao outro.

Resposta

A velocidade da Terra medida no referencial do primeiro próton é , no referencial do segundo próton é , e a velocidade de um próton em relação ao outro é aproximadamente .

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