Uma régua com 1 m de comprimento próprio se move paralelamente a sua maior dimensão com uma velocidade v em relação a um observador. O comprimento medido pelo observador é 0,914 m. Determine o valor de v.

Passo 1

Vamos resolver um problema envolvendo contração do comprimento, que faz parte da Teoria da Relatividade Especial de Einstein. Temos uma régua com comprimento próprio de 1 metro que está se movendo paralelamente à sua maior dimensão com uma velocidade em relação a um observador. O observador mede o comprimento dessa régua como metros. Nosso objetivo é encontrar o valor de .
Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da contração do comprimento e entender um pouco sobre como o movimento afeta as medidas de comprimento segundo a relatividade especial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da contração do comprimento na Relatividade Especial. Quando um objeto está se movendo em relação a um observador, o comprimento medido pelo observador ( L = L0 raiz1 - v^2c^2 ) é menor que o comprimento próprio ( ) do objeto, que é o comprimento medido no referencial próprio do objeto (ou seja, quando o objeto está em repouso em relação ao observador).
A fórmula que relaciona esses comprimentos é:
Onde:
  • é o comprimento observado.
  • é o comprimento próprio.
  • é a velocidade do objeto em relação ao observador.
  • é a velocidade da luz no vácuo, aproximadamente .

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a velocidade LL0 = raiz1 - v^2c^2 . Vamos rearranjar a fórmula para isolar (LL0)^2 = 1 - v^2c^2 :
v^2c^2 = 1 - (LL0)^2
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
v^2 = c^2 (1 - (LL0)^2 )
Agora, movendo os termos para isolar v = c raiz1 - (LL0)^2 :
Multiplicando ambos os lados por :
Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que conhecemos na fórmula. Sabemos que:
  • v = 3 times 10^8 , m/s times raiz1 - (0,9141)^2
  • (0,9141)^2 = 0,835
  • v = 3 times 10^8 , m/s times raiz1 - 0,835 = 3 times 10^8 , m/s times raiz0,165
Substituindo na fórmula:
raiz0,165 approx 0,406
Calculando a fração dentro da raiz:
v approx 3 times 10^8 , m/s times 0,406 approx 1,218 times 10^8 , m/s
Então:
Calculando a raiz quadrada:
Multiplicando pelos valores:

Resposta

A velocidade da régua em relação ao observador é aproximadamente .

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