Uma régua com 1 m de comprimento próprio se move paralelamente a sua maior dimensão com uma velocidade v em relação a um observador. O comprimento medido pelo observador é
. Determine o valor de
.
Passo 1
Vamos resolver um problema envolvendo contração do comprimento, que faz parte da Teoria da Relatividade Especial de Einstein. Temos uma régua com comprimento próprio de 1 metro que está se movendo paralelamente à sua maior dimensão com uma velocidade
em relação a um observador. O observador mede o comprimento dessa régua como
metros. Nosso objetivo é encontrar o valor de
.
Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da contração do comprimento e entender um pouco sobre como o movimento afeta as medidas de comprimento segundo a relatividade especial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da contração do comprimento na Relatividade Especial. Quando um objeto está se movendo em relação a um observador, o comprimento medido pelo observador (
) é menor que o comprimento próprio (
) do objeto, que é o comprimento medido no referencial próprio do objeto (ou seja, quando o objeto está em repouso em relação ao observador).
A fórmula que relaciona esses comprimentos é:
Onde:
-
é o comprimento observado. -
é o comprimento próprio. -
é a velocidade do objeto em relação ao observador. -
é a velocidade da luz no vácuo, aproximadamente .
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar a velocidade
. Vamos rearranjar a fórmula para isolar
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Agora, movendo os termos para isolar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores que conhecemos na fórmula. Sabemos que:
Substituindo na fórmula:
Calculando a fração dentro da raiz:
Então:
Calculando a raiz quadrada:
Multiplicando pelos valores:
Resposta
A velocidade
da régua em relação ao observador é aproximadamente
.