At a point in an elastic material there are two mutually perpendicular planes, one of which carries a direct tensile stress at 50 N / mm^2 and a shear stress of 40 N / mm^2, while the other plane is subjected to a direct compressive stress of 35 N / mm^2 and a complementary shear stress of 40 N / mm^2. Determine the principal stresses at the point, the position of the planes on which they act and the position of the planes on which there is no normal stress.
ll Ans & sigmaI=65.9 N / mm^2 theta=21^circ 38^prime & sigmaII=-50.9 N / mm^2 theta=111^circ 38^prime
No normal stress on planes at 70^circ 21^prime and -27^circ 5^prime to vertical.

Passo 1

Entendendo o problema e o que precisamos fazer
Vamos resolver um exercício que trata de tensões em materiais elásticos. O enunciado nos dá as tensões normais e de cisalhamento em duas faces perpendiculares de um ponto específico no material. Nosso objetivo é encontrar as tensões principais nesse ponto, as posições das direções em que essas tensões atuam e também as posições das direções onde não há tensão normal.
Para resolver isso, vamos precisar utilizar os conceitos de transformação de tensões e tensões principais. Precisamos entender como as tensões se transformam quando mudamos a orientação das faces e como identificar as direções onde as tensões são máximas e mínimas (as tensões principais).

Passo 2

Identificando as tensões nas direções dadas
Primeiro, vamos identificar as tensões normais e de cisalhamento nas duas faces perpendiculares fornecidas no enunciado.
  • Na primeira face:
    • Tensão normal direta:
    • Tensão de cisalhamento:
  • Na segunda face, que é perpendicular à primeira:
    • Tensão normal compressiva: (o sinal negativo indica compressão)
    • Tensão de cisalhamento:
Como as faces são perpendiculares, as tensões de cisalhamento em cada uma são iguais em módulo mas opostas em direção, por isso ambas são .

Passo 3

Calculando a tensão média e a diferença de tensões
Para encontrar as tensões principais, precisamos primeiro calcular a tensão média sigmam = sigmax + sigmay2 e a diferença de tensões sigmam = 50 + (-35)2 = 152 = 7,5 , N/mm^2 .
A tensão média é dada por:
De
Substituindo os valores:
De
A diferença de tensões é:
Substituindo:

Passo 4

Calculando o raio de Mohr e as tensões principais
O raio de Mohr ( R = raiz(sigmax - sigmay2)^2 + tauxy^2 ) nos ajuda a determinar as tensões principais utilizando a seguinte fórmula:
R = raiz(42,5)^2 + (40)^2 = raiz1806,25 + 1600 = raiz3406,25 approx 58,37 , N/mm^2
Substituindo os valores que já calculamos:
sigmaI = sigmam + R = 7,5 + 58,37 approx 65,9 , N/mm^2
Agora, as tensões principais são:
sigmaII = sigmam - R = 7,5 - 58,37 approx -50,9 , N/mm^2

Passo 5

Determinação da orientação das tensões principais
Para encontrar o ângulo tan(2theta) = 2tauxysigmax - sigmay em que as tensões principais atuam, usamos a seguinte relação:
tan(2theta) = 2 times 4050 - (-35) = 8085 approx 0,9412
Substituindo os valores:
2theta = arctan(0,9412) approx 43,38^circ
Calculando theta approx 43,38^circ2 approx 21^circ 38' :
thetaII = theta + 90^circ approx 111^circ 38'
Portanto:
Este é o ângulo em relação à direção original.
Para a segunda direção principal, que é perpendicular à primeira:

Passo 6

Identificando as direções sem tensão normal
As direções onde não há tensão normal correspondem às direções em que a tensão normal é zero. Essas direções estão a theta = 21^circ 38' + 45^circ = 66^circ 38' das direções principais.
Ent��o, para as direções sem tensão normal:
theta = 111^circ 38' + 45^circ = 156^circ 38'
Convertendo para formatos negativos se necessário, podemos expressar as direções como e em relação à vertical.

Resposta

As tensões principais no ponto são:
sigmaI = 65,9 , N/mm^2 theta = 21^circ 38'
sigmaII = -50,9 , N/mm^2 theta = 111^circ 38'
As direções das faces onde não há tensão normal estão a e em relação à vertical.

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