At a point in an elastic material there are two mutually perpendicular planes, one of which carries a direct tensile stress at
and a shear stress of
, while the other plane is subjected to a direct compressive stress of
and a complementary shear stress of
. Determine the principal stresses at the point, the position of the planes on which they act and the position of the planes on which there is no normal stress.
No normal stress on planes at
and
to vertical.
Passo 1
Entendendo o problema e o que precisamos fazer
Vamos resolver um exercício que trata de tensões em materiais elásticos. O enunciado nos dá as tensões normais e de cisalhamento em duas faces perpendiculares de um ponto específico no material. Nosso objetivo é encontrar as tensões principais nesse ponto, as posições das direções em que essas tensões atuam e também as posições das direções onde não há tensão normal.
Para resolver isso, vamos precisar utilizar os conceitos de transformação de tensões e tensões principais. Precisamos entender como as tensões se transformam quando mudamos a orientação das faces e como identificar as direções onde as tensões são máximas e mínimas (as tensões principais).
Passo 2
Identificando as tensões nas direções dadas
Primeiro, vamos identificar as tensões normais e de cisalhamento nas duas faces perpendiculares fornecidas no enunciado.
-
Na primeira face:
- Tensão normal direta:
- Tensão de cisalhamento:
- Tensão normal direta:
-
Na segunda face, que é perpendicular à primeira:
- Tensão normal compressiva:
(o sinal negativo indica compressão) - Tensão de cisalhamento:
- Tensão normal compressiva:
Como as faces são perpendiculares, as tensões de cisalhamento em cada uma são iguais em módulo mas opostas em direção, por isso ambas são
.
Passo 3
Calculando a tensão média e a diferença de tensões
Para encontrar as tensões principais, precisamos primeiro calcular a tensão média
e a diferença de tensões
.
A tensão média é dada por:
Substituindo os valores:
A diferença de tensões é:
Substituindo:
Passo 4
Calculando o raio de Mohr e as tensões principais
O raio de Mohr (
) nos ajuda a determinar as tensões principais utilizando a seguinte fórmula:
Substituindo os valores que já calculamos:
Agora, as tensões principais são:
Passo 5
Determinação da orientação das tensões principais
Para encontrar o ângulo
em que as tensões principais atuam, usamos a seguinte relação:
Substituindo os valores:
Calculando
:
Portanto:
Este é o ângulo em relação à direção original.
Para a segunda direção principal, que é perpendicular à primeira:
Passo 6
Identificando as direções sem tensão normal
As direções onde não há tensão normal correspondem às direções em que a tensão normal é zero. Essas direções estão a
das direções principais.
Ent��o, para as direções sem tensão normal:
Convertendo para formatos negativos se necessário, podemos expressar as direções como
e
em relação à vertical.
Resposta
As tensões principais no ponto são:
As direções das faces onde não há tensão normal estão a
e
em relação à vertical.
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may be expressed in terms of direct stresses
and
in the form
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and a shear stress of
on the same plane. Calculate the values and directions of the principal stresses at the point and also the maximum shear stress, stating on which planes this will act.
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and
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and
are
and
then
where
the volumetric strain.