Um elemento combustível de tório ) com formato de um bastão cilíndrico longo é utilizado em um reator nuclear. A geração de calor ocorre uniformemente no elemento de diâmetro 40 mm , a uma taxa de . O sistema de resfriamento do reator é caracterizado por um fluido a temperatura de 350 K e coeficiente convectivo de . Calcule a temperatura máxima no interior do elemento combustível de tório para as condições expostas.
Passo 1
Então, pessoal, vamos resolver um exercício sobre como calcular a temperatura máxima dentro de um elemento combustível de tório usado em um reator nuclear. Aqui, vamos trabalhar com condução de calor e transferência de calor por convecção. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de condução de calor para cilindros com geração interna de calor e aplicar as condições de contorno apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
Condutividade térmica do tório:
Diâmetro do cilindro: (convertido para metros)
Taxa de geração de calor:
Temperatura do fluido de resfriamento:
Coeficiente convectivo:
Passo 3
Vamos usar a equação de condução de calor em regime permanente para um cilindro com geração interna. A equação geral para a distribuição de temperatura em função da distância radial é:
Aqui, é a condutividade térmica do material.
Passo 4
Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Integrando em relação a :
Dividindo por :
Integrando novamente:
Passo 5
Agora, aplicamos as condições de contorno. Sabemos que no limite do cilindro (, já que o diâmetro é 0,04 m), a transferência de calor por convecção é dada por:
E, devido à simetria, no centro do cilindro (), a derivada da temperatura em relação a é zero:
Passo 6
Vamos aplicar a condição no centro ():
Para que isso faça sentido, deve ser zero, pois o termo não pode ser infinito.
Então, nossa equação de temperatura fica:
Agora, aplicamos a condição na superfície ():
Calculando a derivada:
Substituindo na condição de contorno:
Simplificando:
E substituindo pela expressão da temperatura:
Resolvendo para :
Passo 7
Agora, temos a expressão completa da temperatura:
Simplificando:
A temperatura máxima ocorre no centro do cilindro ():
Resposta
A temperatura máxima no interior do elemento combustível de tório é de aproximadamente 351,1 K.