Um elemento combustível de tório ) com formato de um bastão cilíndrico longo é utilizado em um reator nuclear. A geração de calor ocorre uniformemente no elemento de diâmetro 40 mm , a uma taxa de . O sistema de resfriamento do reator é caracterizado por um fluido a temperatura de 350 K e coeficiente convectivo de . Calcule a temperatura máxima no interior do elemento combustível de tório para as condições expostas.
Passo 1
Então, pessoal, vamos resolver um exercício sobre como calcular a temperatura máxima dentro de um elemento combustível de tório usado em um reator nuclear. Aqui, vamos trabalhar com condução de calor e transferência de calor por convecção. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de condução de calor para cilindros com geração interna de calor e aplicar as condições de contorno apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
Condutividade térmica do tório:
Diâmetro do cilindro: (convertido para metros)
Taxa de geração de calor:
Temperatura do fluido de resfriamento:
Coeficiente convectivo:
Passo 3
Vamos usar a equação de condução de calor em regime permanente para um cilindro com geração interna. A equação geral para a distribuição de temperatura em função da distância radial é:
Aqui, é a condutividade térmica do material.
Passo 4
Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Integrando em relação a :
Dividindo por :
Integrando novamente:
Passo 5
Agora, aplicamos as condições de contorno. Sabemos que no limite do cilindro (, já que o diâmetro é 0,04 m), a transferência de calor por convecção é dada por:
E, devido à simetria, no centro do cilindro (), a derivada da temperatura em relação a é zero:
Passo 6
Vamos aplicar a condição no centro ( 0 = -q'''2 kto cdot 0 + C10 ):
T(r) = -q'''4 kto r^2 + C2
Para que isso faça sentido, - kto ( dTdr )r=R = h ( T(R) - Tinfty ) deve ser zero, pois o termo dTdr = -q''' r2 kto não pode ser infinito.
Então, nossa equação de temperatura fica:
- kto ( -q''' R2 kto ) = h ( T(R) - Tinfty )
Agora, aplicamos a condição na superfície ( q''' R2 = h ( T(R) - Tinfty ) ):
q''' R2 = h ( -q''' R^24 kto + C2 - Tinfty )
Calculando a derivada:
C2 = Tinfty + q''' R^24 kto + q''' R2 h
Substituindo na condição de contorno:
Simplificando:
E substituindo pela expressão da temperatura:
Resolvendo para :
Passo 7
Agora, temos a expressão completa da temperatura:
T(r) = -q''' r^24 kto + Tinfty + q''' R^24 kto + q''' R2 h
Simplificando:
T(r) = Tinfty + q''' R2 h - q''' (R^2 - r^2)4 kto
A temperatura máxima ocorre no centro do cilindro ( Tmax = T(0) = Tinfty + q''' R2 h + q''' R^24 kto ):
Resposta
A temperatura máxima no interior do elemento combustível de tório é de aproximadamente 351,1 K.