Um elemento combustível de tório (kto=55 W /(m cdot K) ) com formato de um bastão cilíndrico longo é utilizado em um reator nuclear. A geração de calor ocorre uniformemente no elemento de diâmetro 40 mm , a uma taxa de 2,7 times 10^8 W / m^3. O sistema de resfriamento do reator é caracterizado por um fluido a temperatura de 350 K e coeficiente convectivo de 8500 W /(m^2 K). Calcule a temperatura máxima no interior do elemento combustível de tório para as condições expostas.

Passo 1

Então, pessoal, vamos resolver um exercício sobre como calcular a temperatura máxima dentro de um elemento combustível de tório usado em um reator nuclear. Aqui, vamos trabalhar com condução de calor e transferência de calor por convecção. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de condução de calor para cilindros com geração interna de calor e aplicar as condições de contorno apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Condutividade térmica do tório:
  • Diâmetro do cilindro: (convertido para metros)
  • Taxa de geração de calor:
  • Temperatura do fluido de resfriamento:
  • Coeficiente convectivo:

Passo 3

Vamos usar a equação de condução de calor em regime permanente para um cilindro com geração interna. A equação geral para a distribuição de temperatura 1r ddr ( r dTdr ) + q'''kto = 0 em função da distância radial é:
Aqui, é a condutividade térmica do material.

Passo 4

Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por ddr ( r dTdr ) + q''' rkto = 0 :
r dTdr = -q'''2 kto r^2 + C1
Integrando em relação a dTdr = -q'''2 kto r + C1r :
T(r) = -q'''4 kto r^2 + C1 ln r + C2
Dividindo por :
Integrando novamente:

Passo 5

Agora, aplicamos as condições de contorno. Sabemos que no limite do cilindro ( - kto dTdr |r=R = h ( T(R) - Tinfty ) , já que o diâmetro é 0,04 m), a transferência de calor por convecção é dada por:
dTdr |r=0 = 0
E, devido à simetria, no centro do cilindro ( ), a derivada da temperatura em relação a é zero:

Passo 6

Vamos aplicar a condição no centro ( 0 = -q'''2 kto cdot 0 + C10 ):
T(r) = -q'''4 kto r^2 + C2
Para que isso faça sentido, - kto ( dTdr )r=R = h ( T(R) - Tinfty ) deve ser zero, pois o termo dTdr = -q''' r2 kto não pode ser infinito.
Então, nossa equação de temperatura fica:
- kto ( -q''' R2 kto ) = h ( T(R) - Tinfty )
Agora, aplicamos a condição na superfície ( q''' R2 = h ( T(R) - Tinfty ) ):
q''' R2 = h ( -q''' R^24 kto + C2 - Tinfty )
Calculando a derivada:
C2 = Tinfty + q''' R^24 kto + q''' R2 h
Substituindo na condição de contorno:
Simplificando:
E substituindo pela expressão da temperatura:
Resolvendo para :

Passo 7

Agora, temos a expressão completa da temperatura:
T(r) = -q''' r^24 kto + Tinfty + q''' R^24 kto + q''' R2 h
Simplificando:
T(r) = Tinfty + q''' R2 h - q''' (R^2 - r^2)4 kto
A temperatura máxima ocorre no centro do cilindro ( Tmax = T(0) = Tinfty + q''' R2 h + q''' R^24 kto ):

Resposta

A temperatura máxima no interior do elemento combustível de tório é de aproximadamente 351,1 K.

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