Uma parede plana é composta de dois materiais A e B. A camada do material A tem uma geração de calor uniforme dotqA=2,5 times 10^4 W / m^3, condutividade térmica kA=50 W /(m K) e espessura LA=20 cm. A camada do material B , com condutividade térmica kB=90 W /(m cdot K), não tem geração de calor. A superfície interna do material A é bem isolada, enquanto a superfície externa do material B é resfriada por uma corrente de ar com Tinfty=20^circ C e um coeficiente convectivo de h=180 W / m^2 K. Despreze os efeitos da radiação na sua análise e considere que a temperatura na interface entre os dois materiais é igual a T1=75^circ C. Determine a temperatura da superfície resfriada (T2) e a espessura do material B na parede composta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre condução de calor em uma parede composta por dois materiais, A e B. A gente vai precisar usar conceitos de transferência de calor por condução e convecção, além de lidar com geração de calor interna no material A. O objetivo é encontrar a temperatura na superfície resfriada da parede ( T2) e a espessura do material B ( LB).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geração de calor no material A. A geração de calor uniforme é dada por dotqA = 2,5 times 10^4 W / m^3. Para encontrar a quantidade total de calor gerado por unidade de área na camada A, multiplicamos a geração de calor pela espessura do material A ( LA):
Q>=rado = dotqA times LA
Sabemos que LA = 20 cm = 0,2 m, então:
Q>=rado = 2,5 times 10^4 times 0,2 = 5 times 10^3 W/m^2

Passo 3

Agora, vamos considerar a condução de calor no material A. Como a superfície interna está bem isolada, todo o calor gerado na camada A precisa passar para o material B. A transferência de calor por condução no material A pode ser descrita pela lei de Fourier com geração interna:
Q = kA cdot (T1 - Tisento)LA
Como a superfície interna é isolada, Tisento = T1 = 75^circ C. Portanto, a transferência de calor na camada A é igual à geração de calor:
5 times 10^3 = 50 cdot (75 - Tisento)0,2
Mas como Tisento = T1 = 75^circ C, simplificamos e confirmamos que o calor gerado passa para o material B.

Passo 4

Agora, vamos considerar a condução de calor no material B. A transferência de calor através de B é dada por:
Q = kB cdot (T1 - T2)LB
Queremos encontrar LB, então reorganizamos a equação:
LB = kB cdot (T1 - T2)Q

Passo 5

Sabemos que a transferência de calor total através da parede deve ser igual à transferência por convecção na superfície externa. A transferência por convecção é dada por:
Q = h cdot (T2 - Tinfty)
Onde h = 180 W/m^2 cdot K e Tinfty = 20^circ C. Como já temos Q = 5 times 10^3 W/m^2, substituímos:
5 times 10^3 = 180 cdot (T2 - 20)
Resolvendo para T2:
T2 - 20 = 5 times 10^3180 approx 27,78
T2 approx 47,78^circ C

Passo 6

Agora que temos T2, podemos encontrar LB usando a equação da condução no material B:
LB = 90 cdot (75 - 47,78)5 times 10^3 = 90 cdot 27,225 times 10^3 approx 2.449,85.000 approx 0,49 m

Resposta

A temperatura da superfície resfriada é aproximadamente 47,78^circ C e a espessura do material B é cerca de 0,49 metros.

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