Um reservatório esférico que armazena rejeitos radioativos que geram calor a uma taxa uniforme de
é composto por uma casca esférica de chumbo com um raio interno
e espessura de
. O interior da casca de chumbo é totalmente preenchido pelos rejeitos. É aplicado um revestimento externamente a casca de chumbo com espessura de 3 cm . Esse reservatório é mergulhado em um meio líquido cuja temperatura é
, que proporciona um coeficiente convectivo de
na superfície externa do conjunto esférico. Desenhe o circuito térmico que representa o problema indicando todas as resistências, temperaturas e taxas de transferência de calor (Deixe na forma simbólica).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um reservatório esférico que guarda rejeitos radioativos gerando calor de forma uniforme. Esse reservatório é composto por uma casca de chumbo com certas dimensões e depois tem um revestimento externo. Ele está imerso em um líquido que ajuda a dissipar o calor. O conteúdo principal aqui envolve transferência de calor por condução e convecção. Para resolver isso, vamos precisar entender as resistências térmicas nos diferentes materiais e como elas se conectam em um circuito térmico.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as diferentes camadas do reservatório:
- Rejeitos Radioativos: Geram calor a uma taxa uniforme.
- Casca Interna de Chumbo: Tem raio interno
e espessura de 6 cm. - Revestimento Externo: Adiciona mais 3 cm de espessura.
- Meio Externo: Líquido com temperatura
e coeficiente de convecção .
Passo 3
Vamos calcular os raios para cada camada:
- Raio Interno da Casca de Chumbo:
- Raio Externo da Casca de Chumbo:
- Raio Externo do Revestimento:
Passo 4
Agora, vamos identificar as resistências térmicas envolvidas:
- Condução na Casca de Chumbo: Calculada usando a fórmula da resistência térmica para condução esférica:
- Condução no Revestimento Externo: Se o revestimento for de material diferente, precisaríamos saber sua condutividade. Mas como não foi especificado, vamos considerar que é parte da resistência total.
- Convecção no Meio Externo: Resistência térmica da convecção:
onde é a área da superfície externa do revestimento.
Passo 5
Vamos calcular a área da superfície externa:
Agora, a resistência da convecção:
Passo 6
Calculando a resistência da condução na casca de chumbo:
Passo 7
Agora, somamos as resistências térmicas em série para obter a resistência total:
Passo 8
Sabendo que a geração de calor é dada por
e o volume interno:
Então, a taxa total de geração de calor:
Passo 9
Agora, usando a resistência total para encontrar a diferença de temperatura:
Assim, a temperatura na superfície interna do reservatório:
Resposta
A diferença de temperatura entre o interior do reservatório e o meio externo é aproximadamente
, resultando em uma temperatura interna de cerca de
.