Um reservatório esférico que armazena rejeitos radioativos que geram calor a uma taxa uniforme de dotq=9,5 times 10^4 W / m^3 é composto por uma casca esférica de chumbo com um raio interno r1=28 cm e espessura de 6 cm(kpb=35 W /(m cdot K)). O interior da casca de chumbo é totalmente preenchido pelos rejeitos. É aplicado um revestimento externamente a casca de chumbo com espessura de 3 cm . Esse reservatório é mergulhado em um meio líquido cuja temperatura é T infty=10^circ C, que proporciona um coeficiente convectivo de h=1000 W /(m^2 K) na superfície externa do conjunto esférico. Desenhe o circuito térmico que representa o problema indicando todas as resistências, temperaturas e taxas de transferência de calor (Deixe na forma simbólica).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um reservatório esférico que guarda rejeitos radioativos gerando calor de forma uniforme. Esse reservatório é composto por uma casca de chumbo com certas dimensões e depois tem um revestimento externo. Ele está imerso em um líquido que ajuda a dissipar o calor. O conteúdo principal aqui envolve transferência de calor por condução e convecção. Para resolver isso, vamos precisar entender as resistências térmicas nos diferentes materiais e como elas se conectam em um circuito térmico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as diferentes camadas do reservatório:
  1. Rejeitos Radioativos: Geram calor a uma taxa uniforme.
  2. Casca Interna de Chumbo: Tem raio interno e espessura de 6 cm.
  3. Revestimento Externo: Adiciona mais 3 cm de espessura.
  4. Meio Externo: Líquido com temperatura e coeficiente de convecção .

Passo 3

Vamos calcular os raios para cada camada:
  • Raio Interno da Casca de Chumbo:
  • Raio Externo da Casca de Chumbo:
  • Raio Externo do Revestimento:

Passo 4

Agora, vamos identificar as resistências térmicas envolvidas:
  1. Condução na Casca de Chumbo: Calculada usando a fórmula da resistência térmica para condução esférica: Rcond, Pb = 14pi kPb ( 1r1 - 1r2 )
  2. Condução no Revestimento Externo: Se o revestimento for de material diferente, precisaríamos saber sua condutividade. Mas como não foi especificado, vamos considerar que é parte da resistência total.
  3. Convecção no Meio Externo: Resistência térmica da convecção: Rconv = 1h A onde é a área da superfície externa do revestimento.

Passo 5

Vamos calcular a área da superfície externa:
A = 4pi r3^2 = 4pi (0,37)^2 approx 1,72 m^2
Agora, a resistência da convecção:
Rconv = 11000 times 1,72 approx 0,00058 K/W

Passo 6

Calculando a resistência da condução na casca de chumbo:
Rcond, Pb = 14pi times 35 ( 10,28 - 10,34 )
Rcond, Pb = 1439.82 times (3.571 - 2.941) approx 1439.82 times 0.630 approx 0.00143 K/W

Passo 7

Agora, somamos as resistências térmicas em série para obter a resistência total:
Rtotal = Rcond, Pb + Rconv = 0.00143 + 0.00058 = 0.00201 K/W

Passo 8

Sabendo que a geração de calor é dada por V = 43pi r1^3 = 43pi (0,28)^3 approx 0,092 m^3 e o volume interno:
Q = dotq times V = 9.5 times 10^4 times 0,092 approx 8740 W
Então, a taxa total de geração de calor:

Passo 9

Agora, usando a resistência total para encontrar a diferença de temperatura:
De
Assim, a temperatura na superfície interna do reservatório:
Tinterna = Tinfty + De

Resposta

A diferença de temperatura entre o interior do reservatório e o meio externo é aproximadamente , resultando em uma temperatura interna de cerca de .

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