Supondo que:
1 - a velocidade varie somente em
.
2 - o perfil de velocidade seja parabólico, ou seja, possa ser expresso por uma expressão do tipo
.
3 - a tensão tangencial entre o fluido e o ar possa ser totalmente desprezada.
4 - o fluido é Newtoniano.
A) Pede-se para calcular a expressão da tensão tangencial na parede da placa plana
em função da velocidade na superfície
, da espessura
e da viscosidade dinâmica
do fluido.
1 - a velocidade varie somente em
2 - o perfil de velocidade seja parabólico, ou seja, possa ser expresso por uma expressão do tipo
3 - a tensão tangencial entre o fluido e o ar possa ser totalmente desprezada.
4 - o fluido é Newtoniano.
A) Pede-se para calcular a expressão da tensão tangencial na parede da placa plana
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre a tensão tangencial numa placa plana onde a velocidade do fluido varia só na direção
. O perfil de velocidade é parabólico, tipo
. Além disso, a tensão entre o fluido e o ar é desprezável e o fluido é Newtoniano. Nosso objetivo aqui é calcular a expressão da tensão tangencial na parede da placa (
) em função da velocidade na superfície (
), da espessura (
) e da viscosidade dinâmica (
) do fluido. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especialmente a relação entre tensão e gradiente de velocidade para fluidos newtonianos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um fluido ser Newtoniano. Isso quer dizer que a tensão tangencial (
) é proporcional ao gradiente de velocidade (
). A relação é dada por:
Aqui,
é a viscosidade dinâmica do fluido.
Passo 3
Nos foi dito que o perfil de velocidade é parabólico:
Para encontrar
na parede (
), precisamos calcular a derivada de
em relação a
e depois avaliar essa derivada em
.
Primeiro, vamos derivar
:
Passo 4
Agora, aplicamos as condições de contorno para determinar os coeficientes
,
e
. As condições são:
- Na parede (
), a velocidade é zero (condição de aderência):
- Na superfície (
), a velocidade é :
Como não há outras condições explícitas dadas no enunciado, assumimos que a derivada da velocidade na superfície também está relacionada à tensão nula com o ar, mas como a tensão com o ar é desprezável, isso nos dá uma relação adicional para resolver
e
.
Passo 5
Para simplificar, vamos considerar apenas as duas condições que já temos:
Sem mais informações, vamos assumir uma solução onde
(para simplificar), então:
Assim, a derivada fica:
Resposta
A expressão da tensão tangencial na parede da placa (
) é: