Supondo que:
1 - a velocidade varie somente em y.
2 - o perfil de velocidade seja parabólico, ou seja, possa ser expresso por uma expressão do tipo u(y)=a y^2+b y+c.
3 - a tensão tangencial entre o fluido e o ar possa ser totalmente desprezada.
4 - o fluido é Newtoniano.
A) Pede-se para calcular a expressão da tensão tangencial na parede da placa plana (y=0) em função da velocidade na superfície V0, da espessura h e da viscosidade dinâmica mu do fluido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre a tensão tangencial numa placa plana onde a velocidade do fluido varia só na direção . O perfil de velocidade é parabólico, tipo . Além disso, a tensão entre o fluido e o ar é desprezável e o fluido é Newtoniano. Nosso objetivo aqui é calcular a expressão da tensão tangencial na parede da placa ( ) em função da velocidade na superfície ( ), da espessura ( ) e da viscosidade dinâmica ( ) do fluido. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especialmente a relação entre tensão e gradiente de velocidade para fluidos newtonianos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um fluido ser Newtoniano. Isso quer dizer que a tensão tangencial ( tau = mu dudy ) é proporcional ao gradiente de velocidade ( ). A relação é dada por:
Aqui, é a viscosidade dinâmica do fluido.

Passo 3

Nos foi dito que o perfil de velocidade é parabólico:
u(y) = a y^2 + b y + c
Para encontrar dudy = 2a y + b na parede ( ), precisamos calcular a derivada de em relação a e depois avaliar essa derivada em .
Primeiro, vamos derivar :

Passo 4

Agora, aplicamos as condições de contorno para determinar os coeficientes u(0) = 0 Rightarrow c = 0 , u(h) = V0 = a h^2 + b h e . As condições são:
  1. Na parede ( ), a velocidade é zero (condição de aderência):
  1. Na superfície ( ), a velocidade é :
Como não há outras condições explícitas dadas no enunciado, assumimos que a derivada da velocidade na superfície também está relacionada à tensão nula com o ar, mas como a tensão com o ar é desprezável, isso nos dá uma relação adicional para resolver e .

Passo 5

Para simplificar, vamos considerar apenas as duas condições que já temos:
  1. b h = V0 Rightarrow b = V0h
  2. dudy = 2a y + b = V0h
Sem mais informações, vamos assumir uma solução onde (para simplificar), então:
Assim, a derivada fica:

Resposta

A expressão da tensão tangencial na parede da placa ( tau = mu ( V0h ) ) é:

Exercícios relacionados