Um elemento a in N chama-se antecessor de b in N quando se tem a mas não existe c in N tal que a. Prove que, exceto 1 , todo número natural possui um antecessor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre números naturais e um conceito chamado “antecessor”. A ideia é mostrar que, todo número natural (exceto o 1), tem um número que vem logo antes dele. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são números naturais e o que significa ter um antecessor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os números naturais são os números que usamos para contar: 1, 2, 3, 4, e por aí vai. O antecessor de um número é o número que está logo antes dele na sequência dos naturais. Por exemplo, o antecessor de 3 é 2 porque 2 está logo antes de 3.

Passo 3

O que o enunciado pede é para provar que todo número natural, exceto o 1, tem um antecessor. Ou seja, se pegarmos qualquer número maior que 1, sempre vai ter um número que vem antes dele.

Passo 4

Vamos provar isso usando uma abordagem direta. Pegue um número natural onde . Queremos mostrar que existe um número tal que e não há nenhum número natural entre e .

Passo 5

Observando os números naturais, vemos que para qualquer , o número é menor que ( ). Além disso, não existe nenhum número natural entre e porque os números naturais são consecutivos.

Passo 6

Portanto, satisfaz as condições para ser o antecessor de . Isso mostra que todo número natural maior que 1 tem um antecessor.

Resposta

Assim, foi provado que, exceto o 1, todo número natural possui um antecessor.

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Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
1+1raiz2+1raiz3+ldots+1raizn <= 2 raizn ; forall n >= 1.
Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
2(1+2+ldots+n)=n(n+1);
Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
(a-1)(1+a+ldots +a^n)=a^n+1-1, seja quais forem a, n in N;
Seja f: N N uma função tal que f(x y)=f(x)+f(y) ; forall x, y in N. Mostre que: f(a^n)=n f(a) ; forall n >= 1.