Um elemento
chama-se antecessor de
quando se tem
mas não existe
tal que
. Prove que, exceto 1 , todo número natural possui um antecessor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre números naturais e um conceito chamado “antecessor”. A ideia é mostrar que, todo número natural (exceto o 1), tem um número que vem logo antes dele. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são números naturais e o que significa ter um antecessor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que os números naturais são os números que usamos para contar: 1, 2, 3, 4, e por aí vai. O antecessor de um número é o número que está logo antes dele na sequência dos naturais. Por exemplo, o antecessor de 3 é 2 porque 2 está logo antes de 3.
Passo 3
O que o enunciado pede é para provar que todo número natural, exceto o 1, tem um antecessor. Ou seja, se pegarmos qualquer número maior que 1, sempre vai ter um número que vem antes dele.
Passo 4
Vamos provar isso usando uma abordagem direta. Pegue um número natural
onde
. Queremos mostrar que existe um número
tal que
e não há nenhum número natural entre
e
.
Passo 5
Observando os números naturais, vemos que para qualquer
, o número
é menor que
(
). Além disso, não existe nenhum número natural entre
e
porque os números naturais são consecutivos.
Passo 6
Portanto,
satisfaz as condições para ser o antecessor de
. Isso mostra que todo número natural maior que 1 tem um antecessor.
Resposta
Assim, foi provado que, exceto o 1, todo número natural possui um antecessor.
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Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
.
Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
;
Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
, seja quais forem
;
Seja
uma função tal que
. Mostre que:
.