Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
, seja quais forem
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar, usando indução matemática, que para quaisquer números naturais
e
, a seguinte igualdade é verdadeira:
Vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la para provar essa fórmula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é indução matemática. É uma técnica de prova usada para mostrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais. Ela envolve dois passos principais:
- Base da indução: Verificamos se a afirmação é verdadeira para o primeiro valor de
, geralmente ou . - Passo indutivo: Assumimos que a afirmação é verdadeira para algum
e, então, mostramos que ela também é verdadeira para .
Vamos começar com a base da indução.
Passo 3
Base da indução: Vamos verificar se a igualdade é válida para
.
Substituindo
na expressão:
Ambos os lados são iguais, então a base da indução é verdadeira.
Passo 4
Passo indutivo: Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para
. Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 5
Agora, precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
. Isso significa que devemos provar:
Simplificando a expressão do lado esquerdo:
Passo 6
Utilizando a hipótese de indução, substituímos
por
:
Passo 7
Agora, vamos simplificar a expressão:
Simplificando mais:
Isso é igual a
, que era o que queríamos provar.
Resposta
Portanto, por indução matemática, demonstramos que para quaisquer
:
Exercícios relacionados
Um elemento
chama-se antecessor de
quando se tem
mas não existe
tal que
. Prove que, exceto 1 , todo número natural possui um antecessor.
Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
.
Seja
uma função tal que
. Mostre que:
.
Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
.