Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
(a-1)(1+a+ldots +a^n)=a^n+1-1, seja quais forem a, n in N;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar, usando indução matemática, que para quaisquer números naturais (a - 1)(1 + a + ldots + a^n) = a^n+1 - 1 e , a seguinte igualdade é verdadeira:
Vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la para provar essa fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é indução matemática. É uma técnica de prova usada para mostrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais. Ela envolve dois passos principais:
  1. Base da indução: Verificamos se a afirmação é verdadeira para o primeiro valor de , geralmente ou .
  2. Passo indutivo: Assumimos que a afirmação é verdadeira para algum e, então, mostramos que ela também é verdadeira para .
Vamos começar com a base da indução.

Passo 3

Base da indução: Vamos verificar se a igualdade é válida para (a - 1)(1) = a^0+1 - 1 (a - 1) = a - 1 .
Substituindo na expressão:
Ambos os lados são iguais, então a base da indução é verdadeira.

Passo 4

Passo indutivo: Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para (a - 1)(1 + a + ldots + a^k) = a^k+1 - 1 . Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 5

Agora, precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para (a - 1)(1 + a + ldots + a^k + a^k+1) = a^(k+1)+1 - 1 , então ela também é verdadeira para (a - 1)(1 + a + ldots + a^k + a^k+1) = (a - 1)((1 + a + ldots + a^k) + a^k+1) . Isso significa que devemos provar:
Simplificando a expressão do lado esquerdo:

Passo 6

Utilizando a hipótese de indução, substituímos (a - 1)(1 + a + ldots + a^k + a^k+1) = (a^k+1 - 1) + (a - 1)a^k+1 por :

Passo 7

Agora, vamos simplificar a expressão:
(a^k+1 - 1) + (a - 1)a^k+1 = a^k+1 - 1 + a cdot a^k+1 - a^k+1
Simplificando mais:
= a^k+1 - 1 + a^k+2 - a^k+1 = a^k+2 - 1
Isso é igual a , que era o que queríamos provar.

Resposta

Portanto, por indução matemática, demonstramos que para quaisquer (a - 1)(1 + a + ldots + a^n) = a^n+1 - 1 :

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Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
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