Um elemento plano está submetido às tensões: sigmax=90 MPa, sigmay=-30 MPa e taux y=-40 MPa. Determine: a) as tensões e seus planos de atuação; b) as tensões de cisalhamento extremas e seus planos de atuação e c) esboce os elementos girados para as situações das letras a) e b). (2,0 pts)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de tensões em materiais. A questão nos dá as tensões em um elemento plano: sigmax=90 MPa, sigmay=-30 MPa e tauxy=-40 MPa. Vamos determinar:
a) As tensões principais e seus planos de atuação;
b) As tensões de cisalhamento extremas e seus planos de atuação;
c) Esboçar os elementos girados para as situações a) e b).
Para isso, vamos precisar usar as fórmulas de transformação de tensões e entender como calcular as tensões principais e de cisalhamento extremas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as tensões principais. As tensões principais são as tensões máximas e mínimas que ocorrem em planos onde a tensão de cisalhamento é zero. Para isso, usamos a seguinte fórmula:
sigma1,2 = sigmax + sigmay2 pm raiz(sigmax - sigmay2)^2 + tauxy^2
Aqui, sigma1 será a tensão principal maior e sigma2 a menor.

Passo 3

Vamos calcular primeiro a média das tensões:
sigmax + sigmay2 = 90 + (-30)2 = 602 = 30 MPa
Agora, calculamos a parte do radical:
(sigmax - sigmay2)^2 = (90 - (-30)2)^2 = (1202)^2 = 60^2 = 3600
E:
tauxy^2 = (-40)^2 = 1600
Somando:
3600 + 1600 = 5200
Portanto:
raiz5200 approx 72.11 MPa

Passo 4

Agora, calculamos as tensões principais:
sigma1 = 30 + 72.11 = 102.11 MPa
sigma2 = 30 - 72.11 = -42.11 MPa

Passo 5

Então, as tensões principais são aproximadamente sigma1 = 102.11 MPa e sigma2 = -42.11 MPa. Esses são os valores das tensões máximas e mínimas no elemento, respectivamente.

Passo 6

Agora, vamos encontrar os planos de atuação das tensões principais. A orientação do plano onde ocorre sigma1 é dada por:
tan(2thetap) = 2tauxysigmax - sigmay
Substituindo os valores:
tan(2thetap) = 2 times (-40)90 - (-30) = -80120 = -23
Então,
2thetap = tan^-1(-23) approx -33.69^circ
Dividindo por 2:
thetap approx -16.85^circ
Isso significa que a orientação do plano principal sigma1 está a aproximadamente 16.85^circ do eixo x.

Passo 7

Passando para a parte b), vamos encontrar as tensões de cisalhamento extremas. A fórmula para as tensões de cisalhamento extremas é:
tauext = raiz(sigmax - sigmay2)^2 + tauxy^2
Já calculamos essa parte anteriormente:
tauext = raiz5200 approx 72.11 MPa

Passo 8

As tensões de cisalhamento extremas ocorrem nos planos a 45^circ em relação aos planos principais. Então, a orientação dos planos onde ocorre tauext será:
thetatau = thetap + 45^circ approx -16.85^circ + 45^circ = 28.15^circ
Portanto, as tensões de cisalhamento extremas de aproximadamente 72.11 MPa atuam em planos inclinados a 28.15^circ em relação ao eixo x.

Resposta

a) As tensões principais são sigma1 approx 102.11 MPa e sigma2 approx -42.11 MPa, atuando em planos inclinados a aproximadamente 16.85^circ em relação ao eixo x.
b) As tensões de cisalhamento extremas são aproximadamente 72.11 MPa, atuando em planos inclinados a 28.15^circ em relação ao eixo x.

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