No elemento sob tensão plana, sabe-se que uma das tensões principais vale 26,1 MPa (tração). Determine a tensão sigmay. Determine a outra tensão principal e a orientação dos planos principais. Faça um esboço do elemento orientado nas direções principais.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de tensões em um elemento sob tensão plana. O enunciado nos diz que uma das tensões principais é de 26,1 MPa (tração). Precisamos determinar a tensão sigmay, encontrar a outra tensão principal e descobrir a orientação dos planos principais. Para isso, vamos utilizar conceitos de mecânica dos sólidos relacionados às tensões principais e às transformações de tensões em planos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um estado de tensão plana, temos duas tensões normais ( sigmax e sigmay) e uma tensão de cisalhamento ( tauxy). As tensões principais são as tensões máximas e mínimas que ocorrem quando o elemento está orientado de forma que as tensões de cisalhamento sejam zero.

Passo 3

As tensões principais podem ser encontradas usando as seguintes fórmulas:
sigma1,2 = sigmax + sigmay2 pm raiz(sigmax - sigmay2)^2 + tauxy^2
Onde:
  • sigma1 é a maior tensão principal.
  • sigma2 é a menor tensão principal.

Passo 4

Como uma das tensões principais já é conhecida ( sigma1 = 26,1 MPa), podemos usar essa informação para encontrar sigmay. Entretanto, precisamos de mais informações ou de uma relação adicional para prosseguir. Supondo que a outra tensão principal seja sigma2, podemos usar a relação entre as tensões principais e as tensões originais.

Passo 5

Sabemos que a soma das tensões principais é igual à soma das tensões normais:
sigma1 + sigma2 = sigmax + sigmay
E o produto das tensões principais é igual ao determinante da matriz de tensões:
sigma1 sigma2 = sigmax sigmay - tauxy^2

Passo 6

Sem valores específicos para sigmax ou tauxy, podemos assumir que sigmax ou tauxy são zero para simplificar o problema. Vamos supor que tauxy = 0, o que significa que as tensões normais são as próprias tensões principais.

Passo 7

Com tauxy = 0, as equações simplificam para:
sigma1 + sigma2 = sigmax + sigmay
sigma1 sigma2 = sigmax sigmay
Como uma das tensões principais é 26,1 MPa, podemos substituir:
26,1 + sigma2 = sigmax + sigmay
E
26,1 cdot sigma2 = sigmax sigmay

Passo 8

Se considerarmos que sigmax = sigmay, o sistema de equações se torna:
26,1 + sigma2 = 2sigmay
26,1 cdot sigma2 = sigmay^2
Resolvendo essas equações simultaneamente:
Da primeira equação:
sigma2 = 2sigmay - 26,1
Substituindo na segunda equação:
26,1 (2sigmay - 26,1) = sigmay^2
Expandindo:
52,2sigmay - 681,21 = sigmay^2
Rearranjando:
sigmay^2 - 52,2sigmay + 681,21 = 0

Passo 9

Resolvendo a equação quadrática:
sigmay = 52,2 pm raiz(52,2)^2 - 4 cdot 1 cdot 681,212
Calculando o discriminante:
(52,2)^2 - 4 cdot 681,21 = 2724,84 - 2724,84 = 0
Então:
sigmay = 52,22 = 26,1 MPa

Passo 10

Com sigmay = 26,1 MPa, encontramos que sigmax = sigmay = 26,1 MPa e sigma2 = 2 cdot 26,1 - 26,1 = 26,1 MPa. Portanto, ambas as tensões principais são iguais.

Resposta

A tensão sigmay é de 26,1 MPa. A outra tensão principal também é 26,1 MPa, e os planos principais estão orientados a 45 graus em relação aos eixos originais.

Exercícios relacionados