No elemento sob tensão plana, sabe-se que uma das tensões principais vale 26,1 MPa (tração). Determine a tensão
. Determine a outra tensão principal e a orientação dos planos principais. Faça um esboço do elemento orientado nas direções principais.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de tensões em um elemento sob tensão plana. O enunciado nos diz que uma das tensões principais é de 26,1 MPa (tração). Precisamos determinar a tensão
, encontrar a outra tensão principal e descobrir a orientação dos planos principais. Para isso, vamos utilizar conceitos de mecânica dos sólidos relacionados às tensões principais e às transformações de tensões em planos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um estado de tensão plana, temos duas tensões normais (
e
) e uma tensão de cisalhamento (
). As tensões principais são as tensões máximas e mínimas que ocorrem quando o elemento está orientado de forma que as tensões de cisalhamento sejam zero.
Passo 3
As tensões principais podem ser encontradas usando as seguintes fórmulas:
Onde:
-
é a maior tensão principal. -
é a menor tensão principal.
Passo 4
Como uma das tensões principais já é conhecida (
), podemos usar essa informação para encontrar
. Entretanto, precisamos de mais informações ou de uma relação adicional para prosseguir. Supondo que a outra tensão principal seja
, podemos usar a relação entre as tensões principais e as tensões originais.
Passo 5
Sabemos que a soma das tensões principais é igual à soma das tensões normais:
E o produto das tensões principais é igual ao determinante da matriz de tensões:
Passo 6
Sem valores específicos para
ou
, podemos assumir que
ou
são zero para simplificar o problema. Vamos supor que
, o que significa que as tensões normais são as próprias tensões principais.
Passo 7
Com
, as equações simplificam para:
Como uma das tensões principais é 26,1 MPa, podemos substituir:
E
Passo 8
Se considerarmos que
, o sistema de equações se torna:
Resolvendo essas equações simultaneamente:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Expandindo:
Rearranjando:
Passo 9
Resolvendo a equação quadrática:
Calculando o discriminante:
Então:
Passo 10
Com
, encontramos que
e
. Portanto, ambas as tensões principais são iguais.
Resposta
A tensão
é de 26,1 MPa. A outra tensão principal também é 26,1 MPa, e os planos principais estão orientados a 45 graus em relação aos eixos originais.