No elemento sob tensão plana, sabe-se que uma das tensões principais vale 26,1 MPa (tração). Determine a tensão . Determine a outra tensão principal e a orientação dos planos principais. Faça um esboço do elemento orientado nas direções principais.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de tensões em um elemento sob tensão plana. O enunciado nos diz que uma das tensões principais é de 26,1 MPa (tração). Precisamos determinar a tensão , encontrar a outra tensão principal e descobrir a orientação dos planos principais. Para isso, vamos utilizar conceitos de mecânica dos sólidos relacionados às tensões principais e às transformações de tensões em planos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um estado de tensão plana, temos duas tensões normais ( e ) e uma tensão de cisalhamento ( ). As tensões principais são as tensões máximas e mínimas que ocorrem quando o elemento está orientado de forma que as tensões de cisalhamento sejam zero.

Passo 3

As tensões principais podem ser encontradas usando as seguintes fórmulas:
Onde:
  • é a maior tensão principal.
  • é a menor tensão principal.

Passo 4

Como uma das tensões principais já é conhecida ( ), podemos usar essa informação para encontrar . Entretanto, precisamos de mais informações ou de uma relação adicional para prosseguir. Supondo que a outra tensão principal seja , podemos usar a relação entre as tensões principais e as tensões originais.

Passo 5

Sabemos que a soma das tensões principais é igual à soma das tensões normais:
E o produto das tensões principais é igual ao determinante da matriz de tensões:

Passo 6

Sem valores específicos para ou , podemos assumir que ou são zero para simplificar o problema. Vamos supor que , o que significa que as tensões normais são as próprias tensões principais.

Passo 7

Com , as equações simplificam para:
Como uma das tensões principais é 26,1 MPa, podemos substituir:
E

Passo 8

Se considerarmos que , o sistema de equações se torna:
Resolvendo essas equações simultaneamente:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Expandindo:
Rearranjando:

Passo 9

Resolvendo a equação quadrática:
Calculando o discriminante:
Então:

Passo 10

Com , encontramos que e . Portanto, ambas as tensões principais são iguais.

Resposta

A tensão é de 26,1 MPa. A outra tensão principal também é 26,1 MPa, e os planos principais estão orientados a 45 graus em relação aos eixos originais.

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Resp.
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