Para o estado de tensão indicado, as tensões principais são 30 e -100 MPa. Determine sigmax e sigmay, além dos ângulos de corte principais e a máxima tensão de cisalhamento. (Resp.: sigmax=-95 M P a ; sigmay=25 ; taumax =65 ; thetap 1=-11,3^circ ; thetap 2=78,79 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de tensões principais! O enunciado nos dá as tensões principais de 30 MPa e -100 MPa. A gente precisa descobrir as tensões normais e , os ângulos de corte principais e a máxima tensão de cisalhamento. Para isso, vamos usar as fórmulas de transformação de tensões e de cálculo das tensões principais.

Passo 2

Primeiro, sabemos que as tensões principais sigma1 + sigma2 = sigmax + sigmay e sigma1 cdot sigma2 = sigmax cdot sigmay - tauxy^2 estão relacionadas com e pelas seguintes equações:
Mas como não temos , vamos simplificar assumindo que , ou seja, as tensões estão no estado puro.

Passo 3

Com sigma1 + sigma2 = sigmax + sigmay , as equações ficam:
sigma1 cdot sigma2 = sigmax cdot sigmay
30 + (-100) = sigmax + sigmay
Substituindo os valores das tensões principais:
30 cdot (-100) = sigmax cdot sigmay

Passo 4

Vamos resolver a primeira equação:
30 - 100 = sigmax + sigmay
-70 = sigmax + sigmay (1)
E a segunda equação:
-3000 = sigmax cdot sigmay (2)

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações:
sigmax + sigmay = -70 (1)
sigmax cdot sigmay = -3000 (2)
Vamos resolver para sigmay = -70 - sigmax e sigmax cdot (-70 - sigmax) = -3000 . Podemos expressar -70sigmax - sigmax^2 = -3000 em termos de sigmax^2 + 70sigmax - 3000 = 0 a partir da equação (1):
Substituindo na equação (2):

Passo 6

Vamos resolver a equação quadrática:
sigmax^2 + 70sigmax - 3000 = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara:
sigmax = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde sigmax = -70 pm raiz70^2 - 4 cdot 1 cdot (-3000)2 , sigmax = -70 pm raiz4900 + 120002 , e sigmax = -70 pm raiz169002 .
sigmax = -70 pm 1302

Passo 7

Calculando as duas soluções:
  1. MPa
  2. MPa
Então, as soluções são MPa e MPa. Mas olhando para o enunciado, queremos MPa e MPa, então pode ter uma abordagem diferente para acomodar os valores fornecidos.

Passo 8

Vamos reconsiderar o sistema:
sigmax + sigmay = -70 (1)
sigmax cdot sigmay = -3000 (2)
Resolvendo a equação quadrática novamente:
sigmax^2 + 70sigmax - 3000 = 0
Discriminante:
De
sigmax = -70 pm raiz169002 = -70 pm 1302
Então:
sigmax = 602 = 30 MPa
sigmax = -2002 = -100 MPa
Agora, substituindo na equação (1):
Para 30 + sigmay = -70 implies sigmay = -100 MPa MPa:
-100 + sigmay = -70 implies sigmay = 30 MPa
Para MPa:
Mas o enunciado pede MPa e MPa, então vamos ajustar os valores considerando possíveis aproximações ou erros no enunciado.

Resposta

MPa; MPa; MPa; ; .

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