Mostrar que se U é ortogonal a V e W, U é também ortogonal a V+W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para gente mostrar que se o vetor é ortogonal aos vetores e , então ele também é ortogonal à soma desses dois vetores, ou seja, . Vamos resolver isso usando conceitos de álgebra linear, especificamente produtos internos e ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou escalar) entre eles for igual a zero. Ou seja, e .

Passo 3

Agora, queremos provar que U cdot (V + W) também é ortogonal a . Para isso, vamos calcular o produto interno de com :

Passo 4

Aplicando a distributividade do produto interno sobre a soma de vetores, temos:
U cdot (V + W) = U cdot V + U cdot W

Passo 5

Sabemos, pela condição do problema, que U cdot V + U cdot W = 0 + 0 = 0 e . Substituindo esses valores na expressão:

Resposta

Como , concluímos que o vetor é ortogonal a .

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