Mostrar que se
é ortogonal a
e
é também ortogonal a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para gente mostrar que se o vetor
é ortogonal aos vetores
e
, então ele também é ortogonal à soma desses dois vetores, ou seja,
. Vamos resolver isso usando conceitos de álgebra linear, especificamente produtos internos e ortogonalidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou escalar) entre eles for igual a zero. Ou seja,
e
.
Passo 3
Agora, queremos provar que
também é ortogonal a
. Para isso, vamos calcular o produto interno de
com
:
Passo 4
Aplicando a distributividade do produto interno sobre a soma de vetores, temos:
Passo 5
Sabemos, pela condição do problema, que
e
. Substituindo esses valores na expressão:
Resposta
Como
, concluímos que o vetor
é ortogonal a
.
Exercícios relacionados
Suponha
e
ciclos disjuntos de
, digamos
e
com
, para todo
e
.
Calcule e
, prara todo
, com
e
para todo
e
.
Calcule
Quais elementos de
, o) são seus próprios inversos?
Calcule
sabendo que:
e a medida do ângulo entre eles é
.
Determine a equação reduzida e geral da circunferência de:
e