Um eletroimã muito grande, com polos circulares, cria um campo magnético entre os polos que varia harmonicamente no tempo, com frequência angular omega e amplitude B0: B(t)=B0 sin (omega t). Supondo que esse campo magnético é uniforme entre os polos do eletroímã, calcule a amplitude do campo elétrico, em um ponto entre os polos, à distância r do eixo.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um eletroímã grande com polos circulares que cria um campo magnético que varia harmonicamente no tempo. O campo magnético é dado por , onde é a amplitude e é a frequência angular. Queremos calcular a amplitude do campo elétrico em um ponto que está a uma distância do eixo entre os polos. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Faraday da Indução, que relaciona campos magnéticos variáveis no tempo com campos elétricos induzidos.

Passo 2

A Lei de Faraday da Indução nos diz que uma variação no tempo do campo magnético gera um campo elétrico. Matematicamente, isso é representado por:
nabla times E = -partial Bpartial t
Como o campo magnético é uniforme e varia harmonicamente, podemos simplificar a equação para encontrar a relação entre e .

Passo 3

Considerando a simetria circular dos polos do eletroímã, o campo elétrico induzido também terá simetria circular. Portanto, podemos escrever a integral da Lei de Faraday em torno de um caminho circular de raio oint E cdot dl = -ddt integral B cdot dA :
Onde é um elemento de comprimento ao longo do caminho e é um elemento de área.

Passo 4

Calcule a integral do lado esquerdo:
oint E cdot dl = E cdot 2pi r
Aqui, é a magnitude do campo elétrico que queremos encontrar.

Passo 5

Calcule a integral do lado direito:
-ddt integral B cdot dA = -ddt (B(t) cdot pi r^2) = -pi r^2 dB(t)dt
Como dB(t)dt = B0 omega cos (omega t) , sua derivada no tempo é:

Passo 6

Igualando os dois lados da equação:
E cdot 2pi r = -pi r^2 B0 omega cos (omega t)
Isolando E = -r2 B0 omega cos (omega t) :

Passo 7

A amplitude do campo elétrico E0 = B0 omega r2 é o valor máximo de , que ocorre quando . Portanto:

Resposta

A amplitude do campo elétrico é .

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