Um tubo capilar imerso em água provoca a ascensão de uma coluna líquida de 8,37 cm de altura; imerso em mercúrio provoca uma depressão de 3,67 cm. (a) Qual o raio do tubo capilar? (b) Quanto vale a tensão superficial do mercúrio? Dados: tensão superficial da água a 25^circ C : 72 times 10^-5 N / m; massas específicas da água e do mercúrio: 0,998 g / cm^3 e 13,6 g / cm^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre tubos capilares. A gente tem um tubo imerso em água que sobe 8,37 cm e, quando colocado em mercúrio, desce 3,67 cm. A matéria aqui envolve a ação capilar, que relaciona a tensão superficial dos líquidos com a altura que eles sobem ou descem em um tubo fino. Para resolver, vamos precisar das fórmulas da ação capilar e dos dados fornecidos: tensões superficiais, densidades e alturas das colunas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a ação capilar. Quando um tubo fino é colocado em um líquido, a tensão superficial faz com que o líquido suba ou desça no tubo. A altura da coluna líquida está relacionada à tensão superficial, à densidade do líquido, à aceleração da gravidade e ao raio do tubo. A fórmula que usamos é:
h = 2 gamma cos thetarho g r
Onde:
  • é a altura da coluna do líquido,
  • é a tensão superficial,
  • é o ângulo de contato (vamos assumir que é 0 para simplificar, então ),
  • é a densidade do líquido,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é o raio do tubo.

Passo 3

Vamos começar pela parte (a), que pede o raio do tubo capilar. Como temos dois líquidos, água e mercúrio, podemos montar uma equação para cada um e depois igualar as duas para encontrar o raio.
Para a água:
hágua = 2 gammaáguarhoágua g r ááá
8,37 , cm = 2 times 72 times 10^-5 , N/m0,998 times 10^-3 , kg/cm^3 times 980 , cm/s^2 times r
Para o mercúrio:
hmercúrio = 2 gammamercúriorhomercúrio g r úúú
-3,67 , cm = 2 gammamercúrio13,6 times 10^-3 , kg/cm^3 times 980 , cm/s^2 times r ú

Passo 4

Como queremos encontrar o raio 8,37-3,67 = gammaágua rhomercúriogammamercúrio rhoágua , vamos usar a relação entre as duas equações. Podemos dividir a equação da água pela equação do mercúrio para eliminar -2,28 = 72 times 10^-5 times 13,6 times 10^-3gammamercúrio times 0,998 times 10^-3 :
áúúá
Resolvendo isso:
ú

Passo 5

Agora, isolamos gammamercúrio = 72 times 10^-5 times 13,6 times 10^-3-2,28 times 0,998 times 10^-3 ú:
gammamercúrio = 9,792 times 10^-7-2,28 times 0,998 times 10^-3 ú
gammamercúrio approx -4,28 times 10^-4 , N/m ú
gammamercúrio approx 4,28 times 10^-4 , N/m ú
Como a tensão superficial não pode ser negativa, consideramos o valor positivo:
ú

Resposta

(a) O raio do tubo capilar é aproximadamente (1,03 mm).
(b) A tensão superficial do mercúrio vale .

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