Uma espira circular feita com material de resistência elétrica R, com raio a, gira em tomo do seu diâmetro, ao longo do eixo x, com velocidade angular constante omega, em uma região onde existe um campo magnético uniforme B=B0 z, perpendicular ao eixo de rotação. Considere circ instante inicial t=0 o instante de tempo no qual o plano da espira é perpendicular ao campo magnético.
(b) Calcule o torque atuando sobre a espira, devido ao campo magnético B (existe uma força externa que mantem a espira girando).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma espira circular com resistência elétrica e raio que está girando em torno do seu diâmetro ao longo do eixo com uma velocidade angular constante . Essa espira está inserida em um campo magnético uniforme , que é perpendicular ao eixo de rotação. No instante inicial , o plano da espira está perpendicular ao campo magnético.
O que precisamos fazer aqui é calcular o torque que atua sobre a espira devido ao campo magnético . Para isso, vamos precisar entender conceitos de indução eletromagnética, corrente elétrica em circuitos rotativos em campos magnéticos e como o torque é gerado nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na espira girando no campo magnético. Como a espira está girando, o fluxo magnético através dela está variando com o tempo. Isso vai induzir uma força eletromotriz (f.e.m.) na espira, de acordo com a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética. A f.e.m. induzida é dada por:
E = -dPhidt
onde é o fluxo magnético.

Passo 3

Vamos calcular o fluxo magnético Phi = B cdot A = B0 A cos(theta) através da espira. O fluxo magnético é dado por:
Phi(t) = B0 pi a^2 cos(omega t)
Aqui, é a área da espira e é o ângulo entre o campo magnético e a normal à espira. Como a espira está girando com velocidade angular , o ângulo varia com o tempo como . Então, o fluxo magnético fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a f.e.m. induzida E = -dPhidt = -ddt( B0 pi a^2 cos(omega t) ) = B0 pi a^2 omega sin(omega t) usando a Lei de Faraday:

Passo 5

Com a f.e.m. induzida, podemos encontrar a corrente I = ER = B0 pi a^2 omega sin(omega t)R que circula na espira usando a Lei de Ohm:

Passo 6

Agora, vamos determinar o torque tau = I A B sin(theta) que essa corrente gera no campo magnético. O torque em uma espira é dado por:
tau(t) = ( B0 pi a^2 omega sin(omega t)R ) pi a^2 B0 sin(omega t)
Substituindo os valores que temos:
tau(t) = B0^2 pi^2 a^4 omega sin^2(omega t)R
Simplificando:

Resposta

O torque atuando sobre a espira devido ao campo magnético tau(t) = B0^2 pi^2 a^4 omega sin^2(omega t)R é:

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