A posição de um objeto que se move em linha reta é dada por x=A t+B t^2+C t^3, onde A=3,0 m / s, B=-4,0 m / s^2, e C= 1,0 m / s^3. © Qual é a velocidade média no intervalo desde t=2 até t=4 s ? Desde t=0 até 3 s ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função que descreve a posição de um objeto que se move em linha reta:
x(t) = A t + B t^2 + C t^3
onde:
A questão © nos pede para calcular a velocidade média do objeto em dois intervalos de tempo:
  1. De até
  2. De até
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é velocidade média e como calculá-la usando as posições iniciais e finais do objeto nesses intervalos de tempo.

Passo 2

Entendendo a Velocidade Média:
A velocidade média é uma medida de quão rápido algo está se movendo em média durante um certo período de tempo. É calculada pela variação da posição dividida pelo intervalo de tempo.
A fórmula para a velocidade média ( vmédia = Deé) é:
é
Onde:
  • é a mudança na posição.
  • é o intervalo de tempo.

Passo 3

Calculando as Posições nos Tempos Específicos:
Primeiro, precisamos encontrar as posições do objeto nos tempos inicial e final de cada intervalo.
A função da posição é:
x(t) = A t + B t^2 + C t^3
Vamos calcular x(2) = 3,0 times 2 + (-4,0) times (2)^2 + 1,0 times (2)^3 para cada tempo relevante.
Para x(2) = 6 + (-4 times 4) + 8 :
x(2) = 6 - 16 + 8
x(2) = -2 , m
x(4) = 3,0 times 4 + (-4,0) times (4)^2 + 1,0 times (4)^3
x(4) = 12 + (-4 times 16) + 64
Para x(4) = 12 - 64 + 64 :
x(4) = 12 , m
x(0) = 3,0 times 0 + (-4,0) times (0)^2 + 1,0 times (0)^3
x(0) = 0 + 0 + 0
x(0) = 0 , m
Para x(3) = 3,0 times 3 + (-4,0) times (3)^2 + 1,0 times (3)^3 :
x(3) = 9 + (-4 times 9) + 27
x(3) = 9 - 36 + 27
x(3) = 0 , m
Para :

Passo 4

Calculando a Velocidade Média para Cada Intervalo:
Agora que temos as posições nos tempos iniciais e finais, podemos usar a fórmula da velocidade média.
Primeiro Intervalo: de vmédia = x(4) - x(2)4 - 2 = 12 - (-2)2 = 142 = 7 , m/s a vmédia = x(3) - x(0)3 - 0 = 0 - 03 = 0 , m/s :
é
Segundo Intervalo: de a :
é

Resposta

A velocidade média do objeto é:
  • 7 m/s no intervalo de até
  • 0 m/s no intervalo de até

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