No instante t=0, uma partícula é representada pela função de onda
psi(x)=lc A cdot xa, & 0 <= x <= a A cdot (b-x)(b-a), & a <= x <= b 0, & outro
Onde A, a e b são constantes.
(a) Normalize psi (isto é, encontre A, em termos de a e b); (b) Esboce o gráfico de psi como uma função de x; © Onde é mais provável que a partícula seja encontrada em t=0 ? d) Qual é a probabilidade de encontrar a partícula à esquerda de a ? Verifique seu resultado nos casos limites b=a e b=2 a; (e) Mostre que o valor esperado de x é
lang<= xrang<==2 a+b4

Passo 1

Então, a gente tem uma partícula descrita por uma função de onda psi(x) no tempo t=0. A função de onda está definida por partes, dependendo do valor de x. O conteúdo aqui é de Mecânica Quântica, especialmente a parte de normalização de funções de onda e cálculo de probabilidades. Vamos precisar usar integrais para normalizar psi(x) e calcular probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda psi(x). Normalizar significa ajustar a constante A de modo que a integral do |psi(x)|^2 sobre todo o espaço seja igual a 1. Isso garante que a partícula esteja em algum lugar no espaço.

Passo 3

Vamos escrever a condição de normalização:
integral-infty^infty |psi(x)|^2 dx = 1
Mas como psi(x) é zero fora de [0, b], a integral fica:
integral0^a |A cdot xa|^2 dx + integrala^b |A cdot (b - x)(b - a)|^2 dx = 1

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente.
Para 0 <= x <= a:
integral0^a ( A xa )^2 dx = A^2a^2 integral0^a x^2 dx = A^2a^2 cdot a^33 = A^2 a3
Para a <= x <= b:
integrala^b ( A (b - x)b - a )^2 dx = A^2(b - a)^2 integrala^b (b - x)^2 dx
Fazendo a substituição u = b - x, temos:
integral0^b - a u^2 du = (b - a)^33
Então:
A^2(b - a)^2 cdot (b - a)^33 = A^2 (b - a)3

Passo 5

Somando ambas as partes:
A^2 a3 + A^2 (b - a)3 = A^2 b3 = 1
Então:
A^2 = 3b implies A = raiz3b

Passo 6

Agora, já temos o valor de A em termos de a e b.

Passo 7

Resposta (a):
A constante de normalização é A = raizdfrac3b.

Exercícios relacionados