Um elétron está na n-ésima órbita de Bohr do átomo de hidrogênio. (a) Demonstre que o período do elétron é
e determine o valor numérico de
. (b) Em média, um elétron permanece na órbita
por cerca de 10 ms antes de cair para a órbita
(estado fundamental). Quantas voltas são completadas pelo elétron no estado excitado? © Defina o período de uma volta como um ano do elétron, análogo ao ano terrestre, período do movimento da Terra em torno do Sol. Explique se deveríamos considerar o elétron na órbita
como uma partícula de vida longa.
Passo 1
Então, a gente tem um elétron na n-ésima órbita do átomo de hidrogênio. A matéria aqui é o modelo de Bohr para átomos, que explica como os elétrons se movem em órbitas específicas ao redor do núcleo. Para resolver essa parte, vamos precisar entender como calcular o período de movimento do elétron nessa órbita.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no modelo de Bohr, o raio da órbita é dado por:
onde $ n $ é o número da órbita e $ a_0 $ é o raio de Bohr, que vale aproximadamente $ 5,29 \times 10^{-11} $ metros.
Passo 3
A velocidade do elétron na órbita de número $ n $ é:
onde $ e $ é a carga do elétron, $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo e $ h $ é a constante de Planck.
Passo 4
O período $ T $ é o tempo que o elétron leva para completar uma volta. Como a distância percorrida em uma volta é a circunferência da órbita, temos:
Passo 5
Substituindo $ r_n = n^2 a_0 $ e a expressão de $ v_n $, obtemos:
Isso nos mostra que o período $ T $ é proporcional a $ n^3 $, ou seja:
onde $ t_0 = \frac{4\pi \varepsilon_0 h a_0}{e^2} $.
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor de $ t_0 $. Substituindo os valores conhecidos:
- $ \varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} , F/m $
- $ h = 6,626 \times 10^{-34} , J·s $
- $ a_0 = 5,29 \times 10^{-11} , m $
- $ e = 1,602 \times 10^{-19} , C $
Calculando:
Resposta
O período do elétron é $ T = n^{3} t_{0} $, onde $ t_{0} $ vale aproximadamente $ 2,42 \times 10^{-16} $ segundos.