Quantos conjuntos de números quânticos são possíveis para um átomo de hidrogênio para o qual (a)
, (b)
, ©
, (d)
e (e)
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pergunta quantos conjuntos de números quânticos são possíveis para um átomo de hidrogênio, variando o número quântico principal $ n $ de 1 a 5. Para isso, vamos precisar entender os principais números quânticos: o número quântico principal ($ n
l
m_l
m_s $). Vamos calcular passo a passo quantas combinações são possíveis para cada valor de $ n $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o número quântico principal $ n $. Esse número determina o nível de energia do elétron e pode assumir valores inteiros positivos: $ n = 1, 2, 3, $ e assim por diante. Para cada valor de $ n $, o número quântico azimutal $ l $ pode variar de 0 até $ n-1 $.
Exemplo: Se $ n = 2 $, então $ l $ pode ser 0 ou 1.
Passo 3
Agora, para cada valor de $ l $, o número quântico magnético $ m_l $ pode variar de
até $ +l $ em inteiros. Isso nos dá $ 2l + 1 $ possíveis valores para $ m_l $.
Exemplo: Se $ l = 1 $, então $ m_l $ pode ser -1, 0 ou +1, totalizando 3 valores.
Passo 4
Além disso, o número quântico de spin $ m_s $ pode assumir dois valores: $ +\frac{1}{2} $ ou $ -\frac{1}{2} $. Isso significa que para cada combinação de $ n $, $ l $ e $ m_l $, temos duas opções de spin.
Passo 5
Para encontrar o total de conjuntos de números quânticos para um determinado $ n $, precisamos multiplicar o número de possíveis valores de $ l $, $ m_l $ e $ m_s $. Mais especificamente:
Simplificando a soma:
Então, para cada valor de $ n $, temos $ 2n^2 $ conjuntos de números quânticos possíveis.
Resposta
(a) Para $ n = 1 $: $ 2 \times 1^2 = 2 $ conjuntos
(b) Para $ n = 2 $: $ 2 \times 2^2 = 8 $ conjuntos
© Para $ n = 3 $: $ 2 \times 3^2 = 18 $ conjuntos
(d) Para $ n = 4 $: $ 2 \times 4^2 = 32 $ conjuntos
(e) Para $ n = 5 $: $ 2 \times 5^2 = 50 $ conjuntos