Para um estado esfericamente simétrico de um átomo de hidrogênio, a equação de Schrödinger em coordenadas esféricas é
-hbar^22 me(d^2 psid r^2+2r d psid r)-ke e^2r psi=E psi
(a) Demonstre que a função de onda 1 s para um elétron no hidrogênio
psi1 s(r)=1raizpi a0^3 e^-r / a0
satisfaz à equação de Schrödinger. (b) Qual é a energia do átomo para este estado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema sobre a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio. A gente vai trabalhar com funções de onda esféricas e encontrar a energia do estado fundamental (o famoso estado 1s). Para resolver isso, precisamos entender um pouco sobre equações diferenciais na mecânica quântica e como elas se aplicam aos átomos de hidrogênio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de Schrödinger para um átomo de hidrogênio em coordenadas esféricas:
-hbar^22 me(d^2 psid r^2+2r d psid r)-ke e^2r psi=E psi
Aqui, psi é a função de onda, hbar é a constante de Planck reduzida, me é a massa do elétron, ke é a constante eletrostática, e é a carga do elétron, r é a distância do elétron ao núcleo, e E é a energia total do sistema.

Passo 3

Agora, vamos substituir a função de onda fornecida, que é para o estado 1s:
psi1 s(r)=1raizpi a0^3 e^-r / a0
Aqui, a0 é o raio de Bohr, uma constante que caracteriza o tamanho da órbita do elétron no átomo de hidrogênio.

Passo 4

Nosso objetivo é mostrar que essa função de onda satisfaz a equação de Schrödinger. Para isso, vamos calcular as derivadas de psi1s(r) em relação a r e substituí-las na equação.
Primeiro, calculamos a primeira derivada:
d psi1sd r = 1raizpi a0^3 (-1a0) e^-r / a0 = -1a0 psi1s(r)

Passo 5

Em seguida, a segunda derivada:
d^2 psi1sd r^2 = -1a0 d psi1sd r = -1a0 (-1a0 psi1s(r)) = 1a0^2 psi1s(r)

Passo 6

Agora, vamos substituir d psid r e d^2 psid r^2 na equação de Schrödinger:
-hbar^22 me ( 1a0^2 psi1s(r) + 2r (-1a0 psi1s(r)) ) - ke e^2r psi1s(r) = E psi1s(r)
Simplificando:
-hbar^22 me ( 1a0^2 - 2a0 r ) psi1s(r) - ke e^2r psi1s(r) = E psi1s(r)

Passo 7

Para que a equação seja satisfeita para todo r, os coeficientes de psi1s(r) devem ser iguais dos dois lados. Então, igualamos os termos:
-hbar^22 me ( 1a0^2 - 2a0 r ) - ke e^2r = E
Multiplicando tudo por r para simplificar:
-hbar^22 me ( ra0^2 - 2a0 ) - ke e^2 = E r

Passo 8

Observamos que, para que a equação seja válida para todo r, os termos que dependem de r devem se cancelar. Isso implica que:
-hbar^22 me a0^2 r + hbar^2me a0 - ke e^2 = E r
Igualando os coeficientes dos termos de r e os termos constantes separadamente:
Para os termos de r:
-hbar^22 me a0^2 = E
E para os termos constantes:
hbar^2me a0 - ke e^2 = 0

Passo 9

Resolvendo a segunda equação para encontrar a relação que determina o raio de Bohr a0:
hbar^2me a0 = ke e^2
Isolando a0:
a0 = hbar^2me ke e^2
Essa é, de fato, a expressão para o raio de Bohr, confirmando que nossa função de onda satisfaz a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio.

Resposta

A energia do átomo no estado 1s é dada por
E = -hbar^22 me a0^2

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