Para um estado esfericamente simétrico de um átomo de hidrogênio, a equação de Schrödinger em coordenadas esféricas é
(a) Demonstre que a função de onda
para um elétron no hidrogênio
satisfaz à equação de Schrödinger. (b) Qual é a energia do átomo para este estado?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema sobre a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio. A gente vai trabalhar com funções de onda esféricas e encontrar a energia do estado fundamental (o famoso estado 1s). Para resolver isso, precisamos entender um pouco sobre equações diferenciais na mecânica quântica e como elas se aplicam aos átomos de hidrogênio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de Schrödinger para um átomo de hidrogênio em coordenadas esféricas:
Aqui,
é a função de onda,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa do elétron,
é a constante eletrostática,
é a carga do elétron,
é a distância do elétron ao núcleo, e
é a energia total do sistema.
Passo 3
Agora, vamos substituir a função de onda fornecida, que é para o estado 1s:
Aqui,
é o raio de Bohr, uma constante que caracteriza o tamanho da órbita do elétron no átomo de hidrogênio.
Passo 4
Nosso objetivo é mostrar que essa função de onda satisfaz a equação de Schrödinger. Para isso, vamos calcular as derivadas de
em relação a
e substituí-las na equação.
Primeiro, calculamos a primeira derivada:
Passo 5
Em seguida, a segunda derivada:
Passo 6
Agora, vamos substituir
e
na equação de Schrödinger:
Simplificando:
Passo 7
Para que a equação seja satisfeita para todo
, os coeficientes de
devem ser iguais dos dois lados. Então, igualamos os termos:
Multiplicando tudo por
para simplificar:
Passo 8
Observamos que, para que a equação seja válida para todo
, os termos que dependem de
devem se cancelar. Isso implica que:
Igualando os coeficientes dos termos de
e os termos constantes separadamente:
Para os termos de
:
E para os termos constantes:
Passo 9
Resolvendo a segunda equação para encontrar a relação que determina o raio de Bohr
:
Isolando
:
Essa é, de fato, a expressão para o raio de Bohr, confirmando que nossa função de onda satisfaz a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio.
Resposta
A energia do átomo no estado
é dada por