Uma expressão geral para os níveis de energia de íons e átomos de um elétron é
En=-mu ke^2 q1^2 q2^22 hbar^2 n^2
onde mu é a massa reduzida do átomo, dada por mu=m1 m2 /(m1+m2), onde m1 é a massa do elétron e m2 a do núcleo, ke é a constante de Coulomb e q1 e q2 as cargas do elétron e do núcleo, respectivamente. O comprimento de onda para a transição de n=3 para n=2 do átomo de hidrogênio é 656,3 nm (luz vermelha visível). Quais são os comprimentos de onda para esta transição (a) no positrônio, que consiste em um elétron e um pósitron e (b) no hélio ionizado individualmente? Observação: Pósitron é um elétron carregado positivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre os níveis de energia em átomos e íons, especificamente usando uma fórmula que envolve a massa reduzida. Vamos precisar entender um pouco sobre os níveis de energia, a massa reduzida e como calcular o comprimento de onda das transições eletrônicas. Nosso objetivo é encontrar os comprimentos de onda para a transição de $ n=3 $ para $ n=2 $ no positrônio e no hélio ionizado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula dada para os níveis de energia:
En = -mu ke^2 q1^2 q2^22 hbar^2 n^2
Aqui, $ \mu $ é a massa reduzida do sistema, que leva em conta a massa do elétron ($ m_{1} mu ú m_{2} $). A constante $ k_e $ é a constante de Coulomb, $ q_{1} $ e $ q_{2} $ são as cargas do elétron e do núcleo, respectivamente, e $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida.

Passo 3

A massa reduzida $ \mu $ é calculada por:
mu
Essa fórmula nos ajuda a considerar a influência das massas das partículas envolvidas na interação. No caso do hidrogênio, $ m_{1} $ é a massa do elétron e $ m_{2} $ é a massa do próton.

Passo 4

Para encontrar o comprimento de onda ($ \lambda lambda çãçãçã \Delta E $) e o comprimento de onda:
De
Onde $ h $ é a constante de Planck e $ c $ é a velocidade da luz. Assim, podemos rearranjar a fórmula para encontrar $ \lambda $:
De

Passo 5

Agora, vamos calcular a diferença de energia ($ \Delta E $) para a transição de $ n=3 $ para $ n=2 $. Usamos a fórmula dos níveis de energia para $ n=3 $ e $ n=2 $:
De
Substituindo as expressões:
n=3

Passo 6

Simplificando a diferença de energia:
De

Passo 7

Agora, precisamos calcular $ \Delta E $ para os casos específicos:
(a) Positrônio: consiste em um elétron e um pósitron. Como o pósitron tem a mesma massa do elétron ($ m_{2} = m_{1} $) e carga oposta, $ q_{2} = +e $.
(b) Hélio ionizado: temos um núcleo de hélio com carga $ +2e $ e um elétron, então $ q_{2} = +2e $.

Passo 8

Primeiro, calculamos a massa reduzida para cada caso.
(a) Positrônio:
mupositronio = me cdot meme + me = me^22 me = me2
(b) Hélio ionizado:
Como $ m_{2} $ (núcleo de hélio) é muito maior que $ m_{1} $ (elétron), podemos aproximar:
m2

Passo 9

Agora, vamos ajustar a diferença de energia para cada caso, considerando as cargas $ q_{1} $ e $ q_{2} $.
(a) Positrônio:
q1
(b) Hélio ionizado:
q2

Passo 10

Substituindo $ \mu $ e $ q_{1} \cdot q_{2} $ nas expressões de $ \Delta E $:
(a) Positrônio:
mu
(b) Hélio ionizado:
q1 cdot q2

Passo 11

Agora, usamos a relação $ \lambda = \frac{hc}{\Delta E} $ para encontrar os comprimentos de onda:
(a) Positrônio:
lambda = hcDe
(b) Hélio ionizado:
lambdapositronio = hcDe

Passo 12

Sabemos que para o hidrogênio, o comprimento de onda da transição $ n=3 $ para $ n=2 $ é 656,3 nm. Essa informação nos ajuda a relacionar as diferenças de energia entre os sistemas.
Como a diferença de energia é inversamente proporcional ao comprimento de onda, podemos usar a razão das massas reduzidas e das cargas para encontrar os novos comprimentos de onda.

Passo 13

A relação entre os comprimentos de onda é:
lambdanovolambdahidro>=nio = De=nioDe=nio qhidro>=nio^4munovo qnovo^4
Para o hidrogênio:
muhidro>=nio approx me, qhidro>=nio = e

Passo 14

Calculando para cada caso:
(a) Positrônio:
lambdapositronio656,3 nm = me e^4me2 e^4 = 2 lambdapositronio = 2 times 656,3 nm = 1312,6 nm
(b) Hélio ionizado:
lambdahelio656,3 nm = me e^4me (2e)^4 = 116 lambdahelio = 656,3 nm16 approx 41,0 nm

Resposta

(a) No positrônio, o comprimento de onda é aproximadamente $ 1312,6 $ nm.
(b) No hélio ionizado individualmente, o comprimento de onda é aproximadamente $ 41,0 $ nm.

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