Uma expressão geral para os níveis de energia de íons e átomos de um elétron é
onde
é a massa reduzida do átomo, dada por
, onde
é a massa do elétron e
a do núcleo,
é a constante de Coulomb e
e
as cargas do elétron e do núcleo, respectivamente. O comprimento de onda para a transição de
para
do átomo de hidrogênio é
(luz vermelha visível). Quais são os comprimentos de onda para esta transição (a) no positrônio, que consiste em um elétron e um pósitron e (b) no hélio ionizado individualmente? Observação: Pósitron é um elétron carregado positivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre os níveis de energia em átomos e íons, especificamente usando uma fórmula que envolve a massa reduzida. Vamos precisar entender um pouco sobre os níveis de energia, a massa reduzida e como calcular o comprimento de onda das transições eletrônicas. Nosso objetivo é encontrar os comprimentos de onda para a transição de $ n=3 $ para $ n=2 $ no positrônio e no hélio ionizado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula dada para os níveis de energia:
Aqui, $ \mu $ é a massa reduzida do sistema, que leva em conta a massa do elétron ($ m_{1}
m_{2} $). A constante $ k_e $ é a constante de Coulomb, $ q_{1} $ e $ q_{2} $ são as cargas do elétron e do núcleo, respectivamente, e $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida.
Passo 3
A massa reduzida $ \mu $ é calculada por:
Essa fórmula nos ajuda a considerar a influência das massas das partículas envolvidas na interação. No caso do hidrogênio, $ m_{1} $ é a massa do elétron e $ m_{2} $ é a massa do próton.
Passo 4
Para encontrar o comprimento de onda ($ \lambda
\Delta E $) e o comprimento de onda:
Onde $ h $ é a constante de Planck e $ c $ é a velocidade da luz. Assim, podemos rearranjar a fórmula para encontrar $ \lambda $:
Passo 5
Agora, vamos calcular a diferença de energia ($ \Delta E $) para a transição de $ n=3 $ para $ n=2 $. Usamos a fórmula dos níveis de energia para $ n=3 $ e $ n=2 $:
Substituindo as expressões:
Passo 6
Simplificando a diferença de energia:
Passo 7
Agora, precisamos calcular $ \Delta E $ para os casos específicos:
(a) Positrônio: consiste em um elétron e um pósitron. Como o pósitron tem a mesma massa do elétron ($ m_{2} = m_{1} $) e carga oposta, $ q_{2} = +e $.
(b) Hélio ionizado: temos um núcleo de hélio com carga $ +2e $ e um elétron, então $ q_{2} = +2e $.
Passo 8
Primeiro, calculamos a massa reduzida para cada caso.
(a) Positrônio:
(b) Hélio ionizado:
Como $ m_{2} $ (núcleo de hélio) é muito maior que $ m_{1} $ (elétron), podemos aproximar:
Como $ m_{2} $ (núcleo de hélio) é muito maior que $ m_{1} $ (elétron), podemos aproximar:
Passo 9
Agora, vamos ajustar a diferença de energia para cada caso, considerando as cargas $ q_{1} $ e $ q_{2} $.
(a) Positrônio:
(b) Hélio ionizado:
Passo 10
Substituindo $ \mu $ e $ q_{1} \cdot q_{2} $ nas expressões de $ \Delta E $:
(a) Positrônio:
(b) Hélio ionizado:
Passo 11
Agora, usamos a relação $ \lambda = \frac{hc}{\Delta E} $ para encontrar os comprimentos de onda:
(a) Positrônio:
(b) Hélio ionizado:
Passo 12
Sabemos que para o hidrogênio, o comprimento de onda da transição $ n=3 $ para $ n=2 $ é 656,3 nm. Essa informação nos ajuda a relacionar as diferenças de energia entre os sistemas.
Como a diferença de energia é inversamente proporcional ao comprimento de onda, podemos usar a razão das massas reduzidas e das cargas para encontrar os novos comprimentos de onda.
Passo 13
A relação entre os comprimentos de onda é:
Para o hidrogênio:
Passo 14
Calculando para cada caso:
(a) Positrônio:
(b) Hélio ionizado:
Resposta
(a) No positrônio, o comprimento de onda é aproximadamente $ 1312,6 $ nm.
(b) No hélio ionizado individualmente, o comprimento de onda é aproximadamente $ 41,0 $ nm.