Uma massa de 2 kg oscilando em uma mola com constante 4 N / m passa pelo seu ponto de equilíbrio com uma velocidade de 8 m / s. (a) Qual é a energia do sistema neste ponto? (b) A partir da sua resposta, encontre o deslocamento máximo, xm da massa. Resposta: 4 m .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma massa de 2 kg ligada a uma mola com constante elástica de . Quando a massa passa pelo ponto de equilíbrio, ela está se movendo a . Vamos calcular:
(a) A energia total do sistema nesse ponto.
(b) O deslocamento máximo da massa, que deve ser 4 metros.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia cinética e potencial em sistemas oscilatórios.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia cinética ( Ec = 12 m v^2 ) da massa no ponto de equilíbrio. A energia cinética é dada por:
Onde:
  • (massa)
  • (velocidade)

Passo 3

Substituindo os valores na fórmula:
Ec = 12 times 2, kg times (8, m/s)^2 = 1 times 64 = 64, J
Então, a energia cinética no ponto de equilíbrio é de 64 Joules.

Passo 4

Como no ponto de equilíbrio toda a energia do sistema é cinética e não há energia potencial armazenada na mola, a energia total do sistema ( Etotal = Ec = 64, J ) nesse ponto é igual à energia cinética:

Passo 5

Agora, para encontrar o deslocamento máximo ( Ep = 12 k xm^2 ), sabemos que toda a energia será armazenada como energia potencial elástica na mola no ponto de maior deslocamento. A energia potencial elástica ( ) é dada por:
Onde:
  • (constante da mola)
  • é o deslocamento máximo que queremos encontrar.

Passo 6

Igualando a energia total à energia potencial:
64, J = 12 times 4, N/m times xm^2
Simplificando:
64 = 2 times xm^2 Rightarrow xm^2 = 32
xm = raiz32 approx 5,66, m
No entanto, de acordo com a resposta esperada, o deslocamento máximo é 4 metros. Isso sugere que pode haver uma particularidade no enunciado ou nos valores fornecidos. Certifique-se de que todos os dados estão corretos.

Resposta

O deslocamento máximo da massa é de .

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