Um elétron de massa mmm choca-se frontalmente com um átomo de massa MMM inicialmente em repouso. Em consequência da colisão uma certa quantidade de energia EEE é armazenada internamente no átomo. Mostre que a velocidade inicial mínima do elétron deve ter E=2 E(M+m) /(Mm) E=2 E(M+m) /(Mm) E=2 E(M+m) /(Mm).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício nos pede. Temos um elétron de massa que colide frontalmente com um átomo de massa , que está inicialmente em repouso. Após a colisão, uma quantidade de energia é armazenada internamente no átomo. Nosso objetivo é encontrar a velocidade inicial mínima que o elétron deve ter para que essa energia seja armazenada. Para resolver isso, vamos utilizar os conceitos de conservação do momento linear e energia cinética.

Passo 2

Primeiramente, vamos aplicar a lei da conservação do momento linear. Antes da colisão, apenas o elétron está em movimento, então o momento total do sistema é:
pinicial = m v0
Após a colisão, o elétron e o átomo se movem juntos com uma velocidade comum pfinal = (M + m) v . Portanto, o momento final do sistema é:
pinicial = pfinal Rightarrow m v0 = (M + m) v
Pela conservação do momento:
v = m v0M + m
Podemos isolar :

Passo 3

Agora, vamos analisar as energias cinéticas antes e após a colisão. A energia cinética inicial do sistema (apenas o elétron em movimento) é:
KEinicial = 12 m v0^2
Após a colisão, a energia cinética do sistema (elétron e átomo em movimento conjunto) é:
KEfinal = 12 (M + m) v^2
Substituindo KEfinal = 12 (M + m) ( m v0M + m )^2 = 12 m^2 v0^2M + m da equação anterior:

Passo 4

A energia armazenada internamente no átomo, E = KEinicial - KEfinal = 12 m v0^2 - 12 m^2 v0^2M + m , é a diferença entre a energia cinética inicial e a final:
E = 12 m v0^2 ( 1 - mM + m ) = 12 m v0^2 ( MM + m )
Vamos simplificar essa expressão:
E = 12 m MM + m v0^2
Então:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar E = 12 m MM + m v0^2 :
v0^2 = 2 E (M + m)m M
Multiplicando ambos os lados por v0 = raiz 2 E (M + m)m M :
Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A velocidade inicial mínima do elétron deve ser:
v0 = raiz 2 E (M + m)m M

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