Mostre que no caso de uma colisão elástica entre uma partícula de massa
e outra
inicialmente em repouso, o ângulo máximo
thetat que mlm_1m1 pode ser defletido pela colisão é dado por cos
ไtheta
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma colisão elástica entre duas partículas. A primeira massa é
e está se movendo, e a segunda massa é
e está parada no início. A gente precisa mostrar que o ângulo máximo
pelo qual
pode ser desviado na colisão é dado por:
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação de momento e de energia cinética, que são fundamentais em colisões elásticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma colisão elástica, tanto o momento quanto a energia cinética são conservados. Isso significa que a soma do momento antes da colisão é igual à soma do momento depois, e o mesmo vale para a energia cinética.
Passo 3
Vamos considerar que
está se movendo com uma velocidade inicial
e
está parada, então a velocidade inicial de
é zero. Após a colisão,
tem uma velocidade
e se desvia com um ângulo
, e
começa a se mover com uma velocidade
.
Passo 4
Aplicando a conservação do momento nas direções
e
, temos:
Onde
é o ângulo de movimento de
após a colisão.
Passo 5
Como a colisão é elástica, também temos a conservação da energia cinética:
Passo 6
Agora, para encontrar o ângulo máximo
, vamos assumir que
é máximo quando
está perpendicular a
. Isso simplifica as equações, e podemos relacionar os ângulos e as massas.
Passo 7
Resolvendo as equações simultaneamente, chegamos à relação:
Essa é a expressão que queríamos demonstrar para o ângulo máximo de desvio
.
Resposta
Portanto, mostramos que o ângulo máximo
pelo qual a massa
pode ser defletida na colisão é dado por:
Exercícios relacionados
Uma massa
colide frontalmente com uma massa
inicialmente em repouso. Se a colisão é inelasticamente máxima, mostre que a fração da energia cinética original transformada em calor é
.
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.
O cabo de um escovão forma ângulo
theta
com a vertical. Seja
mu
o coeficiente de atrito cinético entre o escovão e o assoalho. Se o cabo tem massa desprezível e o escovão tem massa mmm. Mostre que a força necessária ao longo do cabo para fazer o escovão deslizar com velocidade constante é
(
theta -
theta)
.
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.