(ELETRONORTE) Seja
onde
Q=[lll1 & 0 & 2 0 & 1 & 4 0 & 0 & 1] . Portanto,
(A^99+A^2) Q é igual a quanto?
a)
[ccc2^3+2^100 & 0 & 0 2^4+2^101 & 0 & 0 2^2+2^99 & 0 & 2]
b)
[ccc1 & 2^3+2^100 & 0 0 & 2^4+2^101 & 0 0 & 2^2+2^99 & 2]
c)
[ccc2 & 2^4+2^100 & 0 0 & 2^3+2^100 & 0 0 & 2^2+2^99 & 2]
d)
[ccc2 & 0 & 2^3+2^100 0 & 0 & 2^4+2^101 0 & 0 & 2^2+2^99]
е)
[ccc2 & 0 & 2^4+2^101 0 & 0 & 2^3+2^100 0 & 0 & 2^2+2^99]
a)
b)
c)
d)
е)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma matriz
1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 2 definida como
1 & 0 & 2 0 & 1 & 4 0 & 0 & 1 , onde
. A questão nos pede para encontrar o valor de
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente propriedades de matrizes e potências de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 2 e
. Como
é uma matriz diagonal multiplicada por
, podemos simplificar as potências de
usando a propriedade
, desde que
e
comutem. Porém, aqui
é constante, então vamos focar em
elevado a alguma potência.
Passo 3
Calculando
A^n = 1^n & 0 & 0 0 & (-1)^n & 0 0 & 0 & 2^n Q^-n :
Então, especificamente:
Passo 4
Agora, vamos somar
A^99 + A^2 = 1 + 1 & 0 + 0 & 0 + 0 0 + 0 & (-1)^99 + (-1)^2 & 0 + 0 0 + 0 & 0 + 0 & 2^99 + 2^2 Q^-99 e
A^99 + A^2 = 2 & 0 & 0 0 & -1 + 1 & 0 0 & 0 & 2^99 + 4 Q^-99 :
Simplificando:
Passo 5
Agora, multiplicamos o resultado por
(A^99 + A^2) Q = 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2^99 + 4 Q^-99 Q :
Como
, mas notamos que a potência não está cancelando diretamente. Parece que precisamos reconsiderar nossa abordagem.
Passo 6
Vamos simplificar
1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 2 novamente. Observando que
A^n = D^n Q^-n , onde
A^99 + A^2 = D^99 Q^-99 + D^2 Q^-2 , e sabendo que
é uma matriz superior triangular, podemos observar que
e
comutam, facilitando as potências.
Então:
E:
Mas para simplificar, perceba que após multiplicar por
, teremos termos envolvendo
.
Passo 7
Para simplificar, assumimos que
(A^99 + A^2) Q = D^99 Q^-99 Q + D^2 Q^-2 Q é invertível e calculamos diretamente
= D^99 Q^-98 + D^2 Q^-1 :
Como
e
não se anulam facilmente, precisamos reconsiderar nossa estratégia.
Passo 8
Uma abordagem mais direta seria reconhecer que, como
(A^99 + A^2) Q = 1 + 1 & 0 & 0 0 & (-1)^99 + (-1)^2 & 0 0 & 0 & 2^99 + 2^2 Q é diagonal após multiplicação por
= 2 & 0 & 0 0 & -1 + 1 & 0 0 & 0 & 2^99 + 4 Q , as potências de
= 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2^99 + 4 Q só afetam as entradas diagonais. Portanto, ao somar
e
e multiplicar por
, apenas as entradas diagonais de
serão elevadas às potências correspondentes:
Passo 9
Multiplicando essa matriz por
2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2^99 + 4 1 & 0 & 2 0 & 1 & 4 0 & 0 & 1 = 2*1 + 0*0 + 0*0 & 2*0 + 0*1 + 0*0 & 2*2 + 0*4 + 0*1 0 & 0 & 0 0*1 + 0*0 + (2^99+4)*0 & 0*0 + 0*1 + (2^99+4)*0 & 0*2 + 0*4 + (2^99+4)*1 :
Simplificando:
Resposta
A opção correta é a letra a):