(ELETRONORTE) Seja A=[ccc1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 2] Q^-1 onde Q=[lll1 & 0 & 2 0 & 1 & 4 0 & 0 & 1]. Portanto, (A^99+A^2) Q é igual a quanto?
a) [ccc2^3+2^100 & 0 & 0 2^4+2^101 & 0 & 0 2^2+2^99 & 0 & 2]
b) [ccc1 & 2^3+2^100 & 0 0 & 2^4+2^101 & 0 0 & 2^2+2^99 & 2]
c) [ccc2 & 2^4+2^100 & 0 0 & 2^3+2^100 & 0 0 & 2^2+2^99 & 2]
d) [ccc2 & 0 & 2^3+2^100 0 & 0 & 2^4+2^101 0 & 0 & 2^2+2^99]
е) [ccc2 & 0 & 2^4+2^101 0 & 0 & 2^3+2^100 0 & 0 & 2^2+2^99]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma matriz 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 2 definida como 1 & 0 & 2 0 & 1 & 4 0 & 0 & 1, onde . A questão nos pede para encontrar o valor de . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente propriedades de matrizes e potências de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 2 e . Como é uma matriz diagonal multiplicada por , podemos simplificar as potências de usando a propriedade , desde que e comutem. Porém, aqui é constante, então vamos focar em elevado a alguma potência.

Passo 3

Calculando A^n = 1^n & 0 & 0 0 & (-1)^n & 0 0 & 0 & 2^n Q^-n :
A^99 = 1^99 & 0 & 0 0 & (-1)^99 & 0 0 & 0 & 2^99 Q^-99
Então, especificamente:
A^2 = 1^2 & 0 & 0 0 & (-1)^2 & 0 0 & 0 & 2^2 Q^-2

Passo 4

Agora, vamos somar A^99 + A^2 = 1 + 1 & 0 + 0 & 0 + 0 0 + 0 & (-1)^99 + (-1)^2 & 0 + 0 0 + 0 & 0 + 0 & 2^99 + 2^2 Q^-99 e A^99 + A^2 = 2 & 0 & 0 0 & -1 + 1 & 0 0 & 0 & 2^99 + 4 Q^-99 :
A^99 + A^2 = 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2^99 + 4 Q^-99
Simplificando:

Passo 5

Agora, multiplicamos o resultado por (A^99 + A^2) Q = 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2^99 + 4 Q^-99 Q :
Como , mas notamos que a potência não está cancelando diretamente. Parece que precisamos reconsiderar nossa abordagem.

Passo 6

Vamos simplificar 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 2 novamente. Observando que A^n = D^n Q^-n , onde A^99 + A^2 = D^99 Q^-99 + D^2 Q^-2 , e sabendo que é uma matriz superior triangular, podemos observar que e comutam, facilitando as potências.
Então:
E:
Mas para simplificar, perceba que após multiplicar por , teremos termos envolvendo .

Passo 7

Para simplificar, assumimos que (A^99 + A^2) Q = D^99 Q^-99 Q + D^2 Q^-2 Q é invertível e calculamos diretamente = D^99 Q^-98 + D^2 Q^-1 :
Como e não se anulam facilmente, precisamos reconsiderar nossa estratégia.

Passo 8

Uma abordagem mais direta seria reconhecer que, como (A^99 + A^2) Q = 1 + 1 & 0 & 0 0 & (-1)^99 + (-1)^2 & 0 0 & 0 & 2^99 + 2^2 Q é diagonal após multiplicação por = 2 & 0 & 0 0 & -1 + 1 & 0 0 & 0 & 2^99 + 4 Q , as potências de = 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2^99 + 4 Q só afetam as entradas diagonais. Portanto, ao somar e e multiplicar por , apenas as entradas diagonais de serão elevadas às potências correspondentes:

Passo 9

Multiplicando essa matriz por 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2^99 + 4 1 & 0 & 2 0 & 1 & 4 0 & 0 & 1 = 2*1 + 0*0 + 0*0 & 2*0 + 0*1 + 0*0 & 2*2 + 0*4 + 0*1 0 & 0 & 0 0*1 + 0*0 + (2^99+4)*0 & 0*0 + 0*1 + (2^99+4)*0 & 0*2 + 0*4 + (2^99+4)*1 :
= 2 & 0 & 4 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2^99 + 4
Simplificando:

Resposta

A opção correta é a letra a):
2^3+2^100 & 0 & 0 2^4+2^101 & 0 & 0 2^2+2^99 & 0 & 2

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