(IFMS) A rotação de um vetor no plano cartesiano, no sentido anti-horário, em torno da origem, é obtido pela multiplicação da matriz de rotação R=[cccos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha] pelas coordenadas do vetor V=[lx y]. Suponha que o vetor V=[c1 raiz3] seja rotacionado 30^circ. Quais as novas coordenadas desse vetor?
a) V=[l0 0]
b) V=[l0 2]
c) V=[l2 0]
d) V=[lraiz3 -2]
e) V=[l-2 raiz3]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para rotacionar o vetor 1 raiz3 em no sentido anti-horário no plano cartesiano. Para isso, vamos usar a matriz de rotação, que é uma ferramenta da Álgebra Linear que nos ajuda a girar vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a matriz de rotação. Ela é dada por:
R = cos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha
Onde cos 30^circ = raiz32, sin 30^circ = 12 é o ângulo de rotação. No nosso caso, R = raiz32 & -12 12 & raiz32 . Vamos calcular os valores de e :
Então, a matriz de rotação fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa matriz ao vetor R cdot V = raiz32 & -12 12 & raiz32 1 raiz3 . A multiplicação de matrizes funciona assim:
raiz32 cdot 1 + (-12) cdot raiz3 = raiz32 - raiz32 = 0
Vamos calcular cada componente do vetor resultante:
  1. Primeira componente:
12 cdot 1 + raiz32 cdot raiz3 = 12 + 32 = 2
  1. Segunda componente:

Resposta

Após a rotação de V' = 0 2 no sentido anti-horário, as novas coordenadas do vetor são:
Portanto, a resposta correta é a letra b).

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