Elimine o módulo (criando funções definidas por partes), determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A função que temos é . A tarefa é:
  1. Eliminar o módulo: Isso significa escrever a função sem o símbolo de valor absoluto, ou seja, como uma função definida por partes.
  2. Determinar o domínio: Encontrar todos os valores de para os quais a função está definida.
  3. Determinar a imagem: Encontrar todos os valores que pode assumir.
  4. Esboçar o gráfico: Desenhar a representação gráfica da função.
Vamos precisar entender o que é o valor absoluto e como ele se comporta para diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos eliminar o módulo. O valor absoluto de , representado por , é definido da seguinte forma:
Como nossa função é , vamos aplicar essa definição:
Para :
Para :
Então, a função definida por partes fica:

Passo 3

Agora, vamos determinar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Na nossa função , o valor absoluto está definido para todos os números reais. Não há divisão por zero nem radicais de número negativo ou outras restrições. Portanto, o domínio é:
íú

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a imagem da função, que são todos os valores que pode assumir.
Observando a função definida por partes:
Para :
Essa é uma reta decrescente que começa em com e desce à medida que aumenta.
Para :
Essa é uma reta crescente que começa em com e aumenta à medida que diminui (ficando mais negativo).
O ponto mais alto da função é , e a função desce indefinidamente para ambos os lados de . Portanto, a imagem é:

Passo 5

Finalmente, vamos esboçar o gráfico da função .
  1. Ponto central: Em , . Esse é o ponto mais alto do gráfico.
  2. Para : A função é , que é uma reta com inclinação negativa, descendo a partir do ponto .
  3. Para : A função é , que é uma reta com inclinação positiva, subindo a partir do ponto .
Juntando essas partes, o gráfico forma um “V” invertido, com o vértice no ponto e as duas linhas se estendendo para baixo em ambas as direções.
Esboço do Gráfico:
   |
4  |        /
3  |-------/-------
2  |     /
1  |   /
0  |----------------
   -3 -2 -1  0  1  2  3

Resposta

A função definida por partes é:
O domínio é e a imagem é . O gráfico é um “V” invertido com vértice no ponto , descendo em ambas as direções.

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Esboce o gráfico e determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Use testes para verificação de convergência e divergência.
. (diverge-teste da divergência.)
Encontre a série de Taylor de centrada em dada nos itens:
.)
Esboce o gráfico e determine o domínio e a imagem das seguintes funções: