Elimine o módulo (criando funções definidas por partes), determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A função que temos é
. A tarefa é:
- Eliminar o módulo: Isso significa escrever a função sem o símbolo de valor absoluto, ou seja, como uma função definida por partes.
- Determinar o domínio: Encontrar todos os valores de
para os quais a função está definida. - Determinar a imagem: Encontrar todos os valores que
pode assumir. - Esboçar o gráfico: Desenhar a representação gráfica da função.
Vamos precisar entender o que é o valor absoluto e como ele se comporta para diferentes valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos eliminar o módulo. O valor absoluto de
, representado por
, é definido da seguinte forma:
Como nossa função é
, vamos aplicar essa definição:
Para
:
Para
:
Então, a função definida por partes fica:
Passo 3
Agora, vamos determinar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Na nossa função
, o valor absoluto está definido para todos os números reais. Não há divisão por zero nem radicais de número negativo ou outras restrições. Portanto, o domínio é:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a imagem da função, que são todos os valores que
pode assumir.
Observando a função definida por partes:
Para
:
Essa é uma reta decrescente que começa em
com
e desce à medida que
aumenta.
Para
:
Essa é uma reta crescente que começa em
com
e aumenta à medida que
diminui (ficando mais negativo).
O ponto mais alto da função é
, e a função desce indefinidamente para ambos os lados de
. Portanto, a imagem é:
Passo 5
Finalmente, vamos esboçar o gráfico da função
.
- Ponto central: Em
, . Esse é o ponto mais alto do gráfico. - Para
: A função é , que é uma reta com inclinação negativa, descendo a partir do ponto . - Para
: A função é , que é uma reta com inclinação positiva, subindo a partir do ponto .
Juntando essas partes, o gráfico forma um “V” invertido, com o vértice no ponto
e as duas linhas se estendendo para baixo em ambas as direções.
Esboço do Gráfico:
|
4 | /
3 |-------/-------
2 | /
1 | /
0 |----------------
-3 -2 -1 0 1 2 3
Resposta
A função definida por partes é:
O domínio é
e a imagem é
. O gráfico é um “V” invertido com vértice no ponto
, descendo em ambas as direções.
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Esboce o gráfico e determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Use testes para verificação de convergência e divergência.
. (diverge-teste da divergência.)
Encontre a série de Taylor de
centrada em
dada nos itens:
.)
Esboce o gráfico e determine o domínio e a imagem das seguintes funções: