Encontre a série de Taylor de f(x) centrada em a dada nos itens:
f(x)=ln (x) em a=2 (f(x)=ln (2)+sumn=1^infty(-1)^n+1 (x-2)^nn 2^n.)

Passo 1

Então, o que a gente precisa fazer aqui é encontrar a série de Taylor da função centrada em . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a expansão em série de Taylor, que nos permite aproximar funções por polinômios em torno de um ponto específico. Vamos precisar conhecer a fórmula geral da série de Taylor e como aplicá-la à função logarítmica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da série de Taylor para uma função f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)2!(x - a)^2 + f'''(a)3!(x - a)^3 + cdots centrada em :
No nosso caso, e , então precisamos calcular as derivadas de em .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias:
f(x) = ln(x)
f'(x) = 1x
f''(x) = -1x^2
f'''(x) = 2x^3
E assim por diante. Avaliando essas derivadas em f(2) = ln(2) :
f'(2) = 12
f''(2) = -14
f'''(2) = 28 = 14
E assim sucessivamente.

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da série de Taylor:
ln(x) = ln(2) + 12(x - 2) - 14 (x - 2)^22! + 14 (x - 2)^33! - cdots
Perceba que os sinais alternam e os coeficientes formam uma sequência. Podemos generalizar essa série.

Passo 5

Observando o padrão, a série pode ser expressa como uma soma infinita onde cada termo é dado por:
(-1)^n+1 (x - 2)^nn cdot 2^n
Portanto, a série de Taylor da função ln(x) = ln(2) + sumn=1^infty (-1)^n+1 (x - 2)^nn cdot 2^n centrada em é:

Resposta

A série de Taylor de ln(x) = ln(2) + sumn=1^infty (-1)^n+1 (x - 2)^nn cdot 2^n centrada em é:

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