Encontre a série de Taylor de
centrada em
dada nos itens:
.)
Passo 1
Então, o que a gente precisa fazer aqui é encontrar a série de Taylor da função
centrada em
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a expansão em série de Taylor, que nos permite aproximar funções por polinômios em torno de um ponto específico. Vamos precisar conhecer a fórmula geral da série de Taylor e como aplicá-la à função logarítmica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da série de Taylor para uma função
centrada em
:
No nosso caso,
e
, então precisamos calcular as derivadas de
em
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas necessárias:
E assim por diante. Avaliando essas derivadas em
:
E assim sucessivamente.
Passo 4
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da série de Taylor:
Perceba que os sinais alternam e os coeficientes formam uma sequência. Podemos generalizar essa série.
Passo 5
Observando o padrão, a série pode ser expressa como uma soma infinita onde cada termo é dado por:
Portanto, a série de Taylor da função
centrada em
é:
Resposta
A série de Taylor de
centrada em
é:
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Esboce o gráfico e determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
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