Encontre a série de Taylor de centrada em dada nos itens:
.)

Passo 1

Então, o que a gente precisa fazer aqui é encontrar a série de Taylor da função centrada em . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a expansão em série de Taylor, que nos permite aproximar funções por polinômios em torno de um ponto específico. Vamos precisar conhecer a fórmula geral da série de Taylor e como aplicá-la à função logarítmica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da série de Taylor para uma função centrada em :
No nosso caso, e , então precisamos calcular as derivadas de em .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias:
E assim por diante. Avaliando essas derivadas em :
E assim sucessivamente.

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da série de Taylor:
Perceba que os sinais alternam e os coeficientes formam uma sequência. Podemos generalizar essa série.

Passo 5

Observando o padrão, a série pode ser expressa como uma soma infinita onde cada termo é dado por:
Portanto, a série de Taylor da função centrada em é:

Resposta

A série de Taylor de centrada em é:

Exercícios relacionados

Elimine o módulo (criando funções definidas por partes), determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
Esboce o gráfico e determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Esboce o gráfico e determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Elimine o módulo (criando funções definidas por partes), determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções: