Elimine o módulo (criando funções definidas por partes), determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para eliminar o módulo na função
, ou seja, reescrever essa função de forma que não tenha o valor absoluto. Além disso, precisamos determinar o domínio (todos os valores de
que a função aceita), a imagem (todos os valores que
pode assumir) e esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de funções definidas por partes e entender como o valor absoluto funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o módulo (ou valor absoluto). O valor absoluto de uma expressão, como
, sempre dá um resultado não negativo, ou seja,
para todo
. Para eliminar o módulo, precisamos considerar duas situações:
- Quando a expressão dentro do módulo é não negativa (
) - Quando a expressão dentro do módulo é negativa (
)
Passo 3
Vamos resolver a desigualdade
para encontrar o ponto onde a expressão muda de sinal:
Então, a função será definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de
.
Passo 4
Para
:
Como
é não negativo, o valor absoluto pode ser eliminado sem mudar o sinal:
Para
:
Aqui,
é negativo, então o valor absoluto inverte o sinal:
Passo 5
Agora, juntando as duas partes, temos a função definida por partes:
Passo 6
Determinação do Domínio:
O domínio de uma função são todos os valores de
para os quais a função está definida. Neste caso, não há restrições como divisão por zero ou raízes de números negativos, então o domínio é:
Passo 7
Determinação da Imagem:
A imagem são todos os valores que
pode assumir. Como a parte com valor absoluto garante que
, adicionando 2 temos:
Então, a imagem é:
Passo 8
Esboço do Gráfico:
Para esboçar o gráfico da função, observe que ele é formado por duas retas que se encontram no ponto onde a expressão dentro do módulo é zero (
):
- Para
, a reta tem coeficiente angular positivo ( ) e intercepto em . - Para
, a reta tem coeficiente angular negativo ( ) e intercepto em .
O ponto de encontro é
. O gráfico forma um “V” com o vértice nesse ponto.
Resposta
A função eliminada do módulo fica:
O domínio é todos os números reais
, a imagem é
e o gráfico é uma função em formato de “V” com vértice no ponto
.
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Esboce o gráfico e determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Encontre a série de Taylor de
centrada em
dada nos itens:
.)
Esboce o gráfico e determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Dadas as funções
e
, determine: