Elimine o módulo (criando funções definidas por partes), determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para eliminar o módulo na função , ou seja, reescrever essa função de forma que não tenha o valor absoluto. Além disso, precisamos determinar o domínio (todos os valores de que a função aceita), a imagem (todos os valores que pode assumir) e esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de funções definidas por partes e entender como o valor absoluto funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o módulo (ou valor absoluto). O valor absoluto de uma expressão, como , sempre dá um resultado não negativo, ou seja, para todo . Para eliminar o módulo, precisamos considerar duas situações:
  1. Quando a expressão dentro do módulo é não negativa ( )
  2. Quando a expressão dentro do módulo é negativa ( )

Passo 3

Vamos resolver a desigualdade para encontrar o ponto onde a expressão muda de sinal:
Então, a função será definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de .

Passo 4

Para :
Como é não negativo, o valor absoluto pode ser eliminado sem mudar o sinal:
Para :
Aqui, é negativo, então o valor absoluto inverte o sinal:

Passo 5

Agora, juntando as duas partes, temos a função definida por partes:

Passo 6

Determinação do Domínio:
O domínio de uma função são todos os valores de para os quais a função está definida. Neste caso, não há restrições como divisão por zero ou raízes de números negativos, então o domínio é:
ú

Passo 7

Determinação da Imagem:
A imagem são todos os valores que pode assumir. Como a parte com valor absoluto garante que , adicionando 2 temos:
Então, a imagem é:

Passo 8

Esboço do Gráfico:
Para esboçar o gráfico da função, observe que ele é formado por duas retas que se encontram no ponto onde a expressão dentro do módulo é zero ( ):
  • Para , a reta tem coeficiente angular positivo ( ) e intercepto em .
  • Para , a reta tem coeficiente angular negativo ( ) e intercepto em .
O ponto de encontro é . O gráfico forma um “V” com o vértice nesse ponto.

Resposta

A função eliminada do módulo fica:
O domínio é todos os números reais , a imagem é e o gráfico é uma função em formato de “V” com vértice no ponto .

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Esboce o gráfico e determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Encontre a série de Taylor de centrada em dada nos itens:
.)
Esboce o gráfico e determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Dadas as funções e , determine: