Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
x=t-1, y=t^3+1, -2 <= t <= 2

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente eliminar o parâmetro t e encontrar uma equação cartesiana da curva. Isso significa que queremos expressar y apenas em termos de x, sem a presença de t. O conteúdo que estamos trabalhando aqui é sobre curvas paramétricas. Para resolver isso, vamos precisar das equações que nos foram dadas: x = t - 1 e y = t^3 + 1.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de x para encontrar o valor de t em função de x. A equação que temos é:
x = t - 1
Se somarmos 1 nos dois lados, obtemos:
t = x + 1
Agora temos t em termos de x.

Passo 3

Agora que temos t = x + 1, podemos substituir esse valor na equação de y. A equação de y é dada por:
y = t^3 + 1
Substituindo t pela expressão que encontramos:
y = (x + 1)^3 + 1

Passo 4

Agora vamos expandir (x + 1)^3. Para isso, usamos a fórmula do cubo de um binômio:
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
Neste caso, a = x e b = 1. Assim, temos:
(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 cdot 1 + 3x cdot 1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1
Portanto,
y = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 + 1 = x^3 + 3x^2 + 3x + 2

Resposta

A equação cartesiana da curva é y = x^3 + 3x^2 + 3x + 2.

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