Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
x=sen 12 theta, y=cos 12 theta, -pi <= theta <= pi

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para esboçar a curva definida pelas funções x = sen 12 theta e y = cos 12 theta, com o parâmetro theta variando entre -pi e pi. O conteúdo que estamos trabalhando aqui é o de curvas paramétricas, que basicamente nos ajuda a representar gráficos com variáveis que dependem de um parâmetro (neste caso, theta). Para resolver isso, a gente precisa entender como os valores de x e y vão variar enquanto theta muda.

Passo 2

Primeiro, vamos ver como x e y se comportam conforme theta varia. Quando theta = -pi, temos:
  • x = sen (-12pi) = sen(-pi2) = -1.
  • y = cos (-12pi) = cos(-pi2) = 0.
Agora, vamos deixar theta aumentar para 0:
  • Quando theta = 0, então:
    • x = sen (0) = 0.
    • y = cos (0) = 1.
E agora, se theta for pi:
  • x = sen (12pi) = sen(pi2) = 1.
  • y = cos (12pi) = cos(pi2) = 0.
Então, já temos três pontos importantes da curva: (-1, 0) quando theta = -pi, (0, 1) quando theta = 0, e (1, 0) quando theta = pi.

Passo 3

Agora, vamos entender a direção da curva enquanto theta aumenta de -pi até pi. Para isso, pensamos em quantos pontos entre -pi e pi podem ser verificados. Se você traçar a curva, perceberá que ela se inicia em (-1, 0), passa por (0, 1) e termina em (1, 0). No total, a curva fará uma volta. A direção em que você está traçando a curva indo de um ponto para o outro é no sentido anti-horário.

Resposta

Ao esboçar a curva e indicar a direção conforme theta aumenta, vemos que ela parte de (-1, 0), passa por (0, 1) e vai até (1, 0), e a curva é traçada no sentido anti-horário.

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