Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta.
x=t^2, y=t^3

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas equações paramétricas que representam uma curva: x = t^2 e y = t^3. O que vamos fazer aqui é esboçar essa curva, ou seja, desenhar o gráfico correspondente a essas equações. Para isso, precisamos calcular alguns pontos substituindo diferentes valores de t e depois ligar esses pontos. Além disso, vamos marcar a direção da curva, indicando para que lado ela cresce quando t aumenta. Isso é uma aplicação de funções paramétricas.

Passo 2

Agora, vamos escolher alguns valores para t e calcular os pontos correspondentes de x e y. Vou escolher valores negativos, zero e positivos para ver como a curva se comporta.
  • Para t = -2:
    • x = (-2)^2 = 4
    • y = (-2)^3 = -8
      Então, temos o ponto (4, -8).
  • Para t = -1:
    • x = (-1)^2 = 1
    • y = (-1)^3 = -1
      Então, o ponto é (1, -1).
  • Para t = 0:
    • x = 0^2 = 0
    • y = 0^3 = 0
      Portanto, o ponto é (0, 0).
  • Para t = 1:
    • x = 1^2 = 1
    • y = 1^3 = 1
      O ponto é (1, 1).
  • Para t = 2:
    • x = 2^2 = 4
    • y = 2^3 = 8
      E o ponto é (4, 8).
Agora temos a lista de pontos: (4, -8), (1, -1), (0, 0), (1, 1), e (4, 8).

Passo 3

Com os pontos em mãos, podemos agora começar a esboçar a curva. Vou desenhar rapidamente: 1) coloco cada um dos pontos calculados no gráfico. 2) Depois, ligo os pontos na ordem que calculamos, começando do ponto mais à esquerda até o mais à direita, conforme os valores de t aumentam.
Por fim, precisamos indicar a direção da curva. Para isso, olhamos para os valores de t que usamos para os cálculos: começamos com t = -2 e terminamos em t = 2. A seta deve ir do ponto (4, -8) para o ponto (4, 8).

Resposta

Ao esboçar a curva, conectamos os pontos (4, -8), (1, -1), (0, 0), (1, 1) e (4, 8), com uma seta indicando que a curva é traçada da esquerda para a direita à medida que t aumenta.

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