Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
x=tg^2 theta, y=sec theta,-pi / 2<0

Passo 1

Vamos resumir o enunciado da questão. Temos duas equações, x = tg^2 theta e y = sec theta, que descrevem uma curva em função do parâmetro theta. O conteúdo que estamos trabalhando aqui é a eliminação de parâmetros para encontrar a equação cartesiana da curva, que expressa y em termos de x sem depender de theta. Para resolver isso, precisaremos entender as relações entre as funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos manipular a equação para x. Sabemos que x = tg^2 theta. Se a gente lembrar que tg theta = sin thetacos theta, então podemos reescrever x como:
x = (sin thetacos theta)^2 = sin^2 thetacos^2 theta
Agora, usando a identidade pitagórica sin^2 theta + cos^2 theta = 1, podemos expressar sin^2 theta em termos de cos^2 theta:
sin^2 theta = 1 - cos^2 theta
Substituindo isso na equação de x, temos:
x = 1 - cos^2 thetacos^2 theta = 1cos^2 theta - 1 = sec^2 theta - 1

Passo 3

Agora, sabemos que y = sec theta. Vamos expressar sec theta em termos de x. Já que x = sec^2 theta - 1, podemos rearranjar isso para expressar sec^2 theta:
sec^2 theta = x + 1
Sabemos também que y = sec theta, então:
y^2 = sec^2 theta = x + 1
Assim, temos que:
y^2 = x + 1

Resposta

A equação cartesiana da curva, eliminando o parâmetro theta, é y^2 = x + 1.

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