Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
x=senh t, y=cosh t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa eliminar o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva. Estamos lidando com funções hiperbólicas, então vamos usar propriedades dessas funções para simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das definições das funções hiperbólicas que aparecem no enunciado:
senh t = e^t - e^-t2
cosh t = e^t + e^-t2
Essas fórmulas vão nos ajudar a relacionar e sem precisar do .

Passo 3

Agora, temos as duas equações:
x = senh t = e^t - e^-t2
y = cosh t = e^t + e^-t2
Vamos somar e subtrair essas duas equações para facilitar.

Passo 4

Somando x + y = e^t - e^-t2 + e^t + e^-t2 = 2e^t2 = e^t e y - x = e^t + e^-t2 - e^t - e^-t2 = 2e^-t2 = e^-t :
Subtraindo de :

Passo 5

Agora, multiplicando (x + y)(y - x) = e^t cdot e^-t = e^0 = 1 por (x + y)(y - x) = 1 :
Então, temos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão acima:
(y + x)(y - x) = y^2 - x^2 = 1
Portanto, a equação cartesiana da curva é:
y^2 - x^2 = 1

Resposta

A equação cartesiana da curva é .

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