Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
x=12 cos theta, y=2 sen theta, 0 <= theta <= pi

Passo 1

O enunciado nos pede para esboçar a curva definida pelas equações paramétricas x = 12 cos theta e y = 2 sin theta, onde theta varia de 0 até pi. Estamos lidando com funções trigonométricas e a construção de gráficos a partir de parâmetros. Para resolver, vamos desenhar o gráfico e observar como a curva se comporta conforme theta aumenta.

Passo 2

Vamos começar pensando nos pontos que a curva vai passar. Para isso, vamos calcular x e y para alguns valores de theta no intervalo de 0 a pi:
  • Para theta = 0:
    x = 12 cos(0) = 12 e y = 2 sin(0) = 0
    Portanto, o ponto é (12, 0).
  • Para theta = pi2:
    x = 12 cos(pi2) = 0 e y = 2 sin(pi2) = 2
    O ponto agora é (0, 2).
  • Para theta = pi:
    x = 12 cos(pi) = -12 e y = 2 sin(pi) = 0
    Aqui, o ponto é (-12, 0).
Agora que temos alguns pontos, podemos esboçar a curva no plano cartesiano.

Passo 3

Vamos desenhar esses pontos no gráfico:
  1. O primeiro ponto (12, 0) está no lado direito do eixo x.
  2. O segundo ponto (0, 2) está no eixo y, bem acima da origem.
  3. O terceiro ponto (-12, 0) está no lado esquerdo do eixo x.
Conectando esses pontos, percebemos que a curva forma uma semi-élipse voltada para baixo.
Além disso, agora precisamos indicar a direção da curva quando theta aumenta. Quando começamos em theta = 0, a curva avança para o ponto em (0, 2) e depois desce até (-12, 0). Portanto, a direção é de 0 a pi. A seta que indica essa direção deve começar em (12, 0) e apontar para (-12, 0), mostrando que a curva é traçada nesse sentido.

Resposta

A curva é uma semi-élipse voltada para baixo, com a direção da curva apontando da direita para a esquerda, da posição inicial em (12, 0) até (-12, 0).

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