Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.

Passo 1

O enunciado nos pede para esboçar a curva definida pelas equações paramétricas e , onde varia de até . Estamos lidando com funções trigonométricas e a construção de gráficos a partir de parâmetros. Para resolver, vamos desenhar o gráfico e observar como a curva se comporta conforme aumenta.

Passo 2

Vamos começar pensando nos pontos que a curva vai passar. Para isso, vamos calcular e para alguns valores de no intervalo de a :
  • Para :
    Portanto, o ponto é .
  • Para :
    O ponto agora é .
  • Para :
    Aqui, o ponto é .
Agora que temos alguns pontos, podemos esboçar a curva no plano cartesiano.

Passo 3

Vamos desenhar esses pontos no gráfico:
  1. O primeiro ponto está no lado direito do eixo .
  2. O segundo ponto está no eixo , bem acima da origem.
  3. O terceiro ponto está no lado esquerdo do eixo .
Conectando esses pontos, percebemos que a curva forma uma semi-élipse voltada para baixo.
Além disso, agora precisamos indicar a direção da curva quando aumenta. Quando começamos em , a curva avança para o ponto em e depois desce até . Portanto, a direção é de a . A seta que indica essa direção deve começar em e apontar para , mostrando que a curva é traçada nesse sentido.

Resposta

A curva é uma semi-élipse voltada para baixo, com a direção da curva apontando da direita para a esquerda, da posição inicial em até .

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Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
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Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.