Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
x=e^t-1, y=e^2 t

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas equações parametrizadas: x = e^t - 1 e y = e^2t. O objetivo aqui é eliminar o parâmetro t para conseguir uma equação que relaciona x e y diretamente, ou seja, uma equação cartesiana. Para isso, precisamos conhecer algumas propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação de x para encontrar uma expressão que nos ajude a trabalhar com o parâmetro. A equação é x = e^t - 1. Se somarmos 1 em ambos os lados, ficamos com:
x + 1 = e^t
Agora, a partir dessa nova equação, podemos substituir o e^t na equação de y.

Passo 3

Sabemos que y = e^2t. Mas podemos reescrever e^2t como (e^t)^2. Assim:
y = (e^t)^2
Agora, substituímos e^t pela expressão que encontramos no passo anterior:
y = (x + 1)^2

Passo 4

E aí está! Agora temos uma relação entre x e y sem a necessidade do parâmetro t. A equação cartesiana que descreve a curva é:
y = (x + 1)^2

Resposta

A equação cartesiana da curva é y = (x + 1)^2.

Exercícios relacionados