Se
e
, determine a magnitute do campo elétrico no ponto
. [DICA: podemos discretizar a barra em pedaços
, com carga
cada pedaço.]
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício de eletrostática. A questão apresenta uma barra com comprimento
carregada com uma carga total de
. Queremos descobrir qual é a magnitude do campo elétrico no ponto
, que está a uma distância
dessa barra. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição contínua de carga, usando integração.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na barra como sendo composta por muitos pedacinhos bem pequenos, cada um com uma carga
. A dica nos diz que podemos considerar cada pedacinho com carga
, onde
é um elemento infinitesimal de comprimento da barra. Isso significa que estamos distribuindo a carga uniformemente ao longo da barra.
Passo 3
Agora, para encontrar o campo elétrico total no ponto
, precisamos somar (ou integrar) o campo elétrico gerado por cada pedacinho
. O campo elétrico gerado por uma carga pontual é dado pela Lei de Coulomb:
Onde:
-
é o campo elétrico gerado pela carga , -
é a constante de permissividade do vácuo ( ), -
é a distância entre o pedacinho de carga e o ponto .
Passo 4
Como a barra está alinhada e o ponto
está a uma distância perpendicular de
, vamos usar a geometria para encontrar
. Se considerarmos que um pedacinho
está a uma posição
ao longo da barra, então a distância total do pedacinho ao ponto
será:
Passo 5
Substituindo
e
na expressão do campo elétrico, temos:
Como todos os pedacinhos contribuem na mesma direção perpendicular à barra, podemos integrar simplesmente ao longo de todo o comprimento da barra para encontrar o campo total
:
Passo 6
Vamos resolver essa integral. A integral de
é conhecida e é igual a
. Aplicando isso aqui:
Calculando os limites:
Como
, simplificamos para:
Passo 7
Substituindo os valores numéricos fornecidos:
Calculando os valores dentro das arctangentes:
Passo 8
Agora, vamos calcular cada parte:
Passo 9
Multiplicando tudo:
Resposta
A magnitude do campo elétrico no ponto
é aproximadamente
.
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