Se e , determine a magnitute do campo elétrico no ponto . [DICA: podemos discretizar a barra em pedaços , com carga cada pedaço.]

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de eletrostática. A questão apresenta uma barra com comprimento carregada com uma carga total de . Queremos descobrir qual é a magnitude do campo elétrico no ponto , que está a uma distância dessa barra. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição contínua de carga, usando integração.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na barra como sendo composta por muitos pedacinhos bem pequenos, cada um com uma carga . A dica nos diz que podemos considerar cada pedacinho com carga , onde é um elemento infinitesimal de comprimento da barra. Isso significa que estamos distribuindo a carga uniformemente ao longo da barra.

Passo 3

Agora, para encontrar o campo elétrico total no ponto , precisamos somar (ou integrar) o campo elétrico gerado por cada pedacinho . O campo elétrico gerado por uma carga pontual é dado pela Lei de Coulomb:
Onde:
  • é o campo elétrico gerado pela carga ,
  • é a constante de permissividade do vácuo ( ),
  • é a distância entre o pedacinho de carga e o ponto .

Passo 4

Como a barra está alinhada e o ponto está a uma distância perpendicular de , vamos usar a geometria para encontrar . Se considerarmos que um pedacinho está a uma posição ao longo da barra, então a distância total do pedacinho ao ponto será:

Passo 5

Substituindo e na expressão do campo elétrico, temos:
Como todos os pedacinhos contribuem na mesma direção perpendicular à barra, podemos integrar simplesmente ao longo de todo o comprimento da barra para encontrar o campo total :

Passo 6

Vamos resolver essa integral. A integral de é conhecida e é igual a . Aplicando isso aqui:
Calculando os limites:
Como , simplificamos para:

Passo 7

Substituindo os valores numéricos fornecidos:
Calculando os valores dentro das arctangentes:

Passo 8

Agora, vamos calcular cada parte:

Passo 9

Multiplicando tudo:

Resposta

A magnitude do campo elétrico no ponto é aproximadamente .

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