Se L=1,25 m, Q=+20,0 mu C e D=3,25 m, determine a magnitute do campo elétrico no ponto P. [DICA: podemos discretizar a barra em pedaços d x, com carga d Q=Q d x / L cada pedaço.]

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de eletrostática. A questão apresenta uma barra com comprimento carregada com uma carga total de . Queremos descobrir qual é a magnitude do campo elétrico no ponto , que está a uma distância dessa barra. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição contínua de carga, usando integração.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na barra como sendo composta por muitos pedacinhos bem pequenos, cada um com uma carga . A dica nos diz que podemos considerar cada pedacinho com carga , onde é um elemento infinitesimal de comprimento da barra. Isso significa que estamos distribuindo a carga uniformemente ao longo da barra.

Passo 3

Agora, para encontrar o campo elétrico total no ponto dE = 14piepsilon0 cdot dQr^2 , precisamos somar (ou integrar) o campo elétrico gerado por cada pedacinho . O campo elétrico gerado por uma carga pontual é dado pela Lei de Coulomb:
Onde:
  • é o campo elétrico gerado pela carga ,
  • é a constante de permissividade do vácuo ( ),
  • é a distância entre o pedacinho de carga e o ponto .

Passo 4

Como a barra está alinhada e o ponto r = raizx^2 + D^2 está a uma distância perpendicular de , vamos usar a geometria para encontrar . Se considerarmos que um pedacinho está a uma posição ao longo da barra, então a distância total do pedacinho ao ponto será:

Passo 5

Substituindo dE = 14piepsilon0 cdot Q , dxL cdot (x^2 + D^2) e E = 14piepsilon0 cdot QL integral-L/2^L/2 dxx^2 + D^2 na expressão do campo elétrico, temos:
Como todos os pedacinhos contribuem na mesma direção perpendicular à barra, podemos integrar simplesmente ao longo de todo o comprimento da barra para encontrar o campo total :

Passo 6

Vamos resolver essa integral. A integral de E = 14piepsilon0 cdot QL cdot [ 1D ( arctan(xD) ) ]-L/2^L/2 é conhecida e é igual a E = 14piepsilon0 cdot QL D ( arctan(L2D) - arctan(-L2D) ) . Aplicando isso aqui:
E = 14piepsilon0 cdot QL D cdot 2 arctan(L2D)
Calculando os limites:
Como , simplificamos para:

Passo 7

Substituindo os valores numéricos fornecidos:
Q = 20,0 times 10^-6 , C, L = 1,25 , m, D = 3,25 , m
E = 14pi times 8,85 times 10^-12 cdot 20,0 times 10^-61,25 times 3,25 cdot 2 arctan(1,252 times 3,25)
Calculando os valores dentro das arctangentes:
1,252 times 3,25 = 1,256,5 approx 0,1923
arctan(0,1923) approx 0,1903 , rad

Passo 8

Agora, vamos calcular cada parte:
14pi times 8,85 times 10^-12 approx 8,988 times 10^9 , N cdot m^2/C^2
20,0 times 10^-61,25 times 3,25 approx 20,0 times 10^-64,0625 approx 4,923 times 10^-6 , C/m
2 times 0,1903 approx 0,3806 , rad

Passo 9

Multiplicando tudo:
E approx 8,988 times 10^9 times 4,923 times 10^-6 times 0,3806
E approx 8,988 times 10^9 times 1,874 times 10^-6
E approx 1,685 times 10^4 , N/C

Resposta

A magnitude do campo elétrico no ponto é aproximadamente .

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