Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
x=e^t-1, y=e^2 t

Passo 1

Vamos começar resumindo o que temos que fazer! O exercício pede para esboçar a curva definida pelas equações paramétricas x = e^t - 1 e y = e^2t. O conteúdo aqui é sobre curvas paramétricas e como elas se comportam à medida que o parâmetro t varia. Para resolver, vamos precisar entender como esse parâmetro afeta os valores de x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos entender um pouco as equações. A equação para x é x = e^t - 1. Isso significa que conforme t aumenta, e^t também aumenta, logo x também vai aumentar. Quando t=0, por exemplo, temos:
x = e^0 - 1 = 1 - 1 = 0
Agora olhando para a equação de y: y = e^2t. Essa função também cresce bastante à medida que t aumenta, pois e^2t é uma função exponencial. Quando t=0, temos:
y = e^2 cdot 0 = e^0 = 1
Então, para t=0, o ponto na curva é (0, 1).

Passo 3

Agora vamos calcular alguns valores para diferentes valores de t. Vamos escolher t = 1 e t = 2 para ver como a curva se comporta:
  • Para t=1:
x = e^1 - 1 approx 2.718 - 1 approx 1.718,
y = e^2 approx 7.389
Então, temos o ponto aproximadamente (1.718, 7.389).
  • Para t=2:
x = e^2 - 1 approx 7.389 - 1 approx 6.389,
y = e^4 approx 54.598
Aqui, o ponto é aproximadamente (6.389, 54.598).

Passo 4

Com esses pontos, vamos tentar esboçar a curva! A curva começa em (0, 1), depois passa por (1.718, 7.389) e, em seguida, por (6.389, 54.598). Podemos ver que conforme t aumenta, os pontos (x, y) estão cada vez mais distantes da origem e y cresce muito mais rápido que x. Então, à medida que o parâmetro t aumenta, a curva fica mais alta e se afasta da origem.

Resposta

A direção da curva traçada vai pra cima e pra direita, indicando que conforme o parâmetro t aumenta, a curva segue na direção crescente no gráfico, se afastando da origem e subindo bastante.

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