A elipse C: 19 x^2+4 x y+16 y^2=300 tem focos F1(-1,2) e F2(1,-2). Usando argumentos geométricos, determine a equação cartesiana da reta tangente à elipse no ponto T(-2,-72).

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver um exercício de Geometria Analítica que envolve uma elipse e a determinação da equação de uma reta tangente a ela em um ponto específico. Para isso, vamos precisar entender como trabalhar com equações de elipses na forma geral e como encontrar a equação da reta tangente usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação da elipse dada: . Observamos que há um termo , o que indica que a elipse está inclinada em relação aos eixos coordenados, ou seja, os eixos não estão alinhados com os eixos principais da elipse.

Passo 3

Para simplificar, vamos usar a ideia de que, para encontrar a reta tangente em um ponto da elipse, podemos utilizar a derivada implícita da equação da elipse. A derivada nos dará a inclinação da reta tangente naquele ponto específico.

Passo 4

Aplicando a derivada implícita na equação ddx(19x^2) + ddx(4xy) + ddx(16y^2) = ddx(300) em relação a 38x + 4y + 4xdydx + 32ydydx = 0 :
Calculando cada termo:

Passo 5

Agora, vamos isolar 4xdydx + 32ydydx = -38x - 4y para encontrar a inclinação da reta tangente:
dydx(4x + 32y) = -38x - 4y
Factorizando dydx = -38x - 4y4x + 32y :

Passo 6

Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto dydx = -38(-2) - 4(-72)4(-2) + 32(-72) = 76 + 14-8 - 112 = 90-120 = -34 . Substituindo e na expressão da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 7

Agora que temos a inclinação y - y1 = m(x - x1) e um ponto y - (-72) = -34(x - (-2)) pela qual a reta passa, podemos usar a fórmula da equação da reta:
y + 72 = -34(x + 2)
Substituindo os valores:

Passo 8

Vamos simplificar a equação para a forma geral:
y + 72 = -34x - 32
Subtraindo y = -34x - 32 - 72 de ambos os lados:
y = -34x - 5

Resposta

A equação cartesiana da reta tangente à elipse no ponto y = -34x - 5 é:

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