A elipse tem focos e . Usando argumentos geométricos, determine a equação cartesiana da reta tangente à elipse no ponto .
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver um exercício de Geometria Analítica que envolve uma elipse e a determinação da equação de uma reta tangente a ela em um ponto específico. Para isso, vamos precisar entender como trabalhar com equações de elipses na forma geral e como encontrar a equação da reta tangente usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação da elipse dada: . Observamos que há um termo , o que indica que a elipse está inclinada em relação aos eixos coordenados, ou seja, os eixos não estão alinhados com os eixos principais da elipse.
Passo 3
Para simplificar, vamos usar a ideia de que, para encontrar a reta tangente em um ponto da elipse, podemos utilizar a derivada implícita da equação da elipse. A derivada nos dará a inclinação da reta tangente naquele ponto específico.
Passo 4
Aplicando a derivada implícita na equação em relação a :
Calculando cada termo:
Passo 5
Agora, vamos isolar para encontrar a inclinação da reta tangente:
Factorizando :
Passo 6
Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto . Substituindo e na expressão da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .
Passo 7
Agora que temos a inclinação e um ponto pela qual a reta passa, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Passo 8
Vamos simplificar a equação para a forma geral:
Subtraindo de ambos os lados:
Resposta
A equação cartesiana da reta tangente à elipse no ponto é: