A elipse
, tem focos
e
. Usando argumentos geométricos, determine a equação cartesiana da reta tangente à elipse no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma elipse definida pela equação
, e também os dois focos dessa elipse:
e
. A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à essa elipse no ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre elipses e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que uma reta tangente a uma elipse em um ponto específico tem uma propriedade especial relacionada aos focos da elipse. A soma das distâncias de qualquer ponto da elipse a esses dois focos é constante. No ponto de tangência, essa propriedade nos ajuda a determinar a inclinação da reta tangente.
Passo 3
Vamos calcular as distâncias do ponto
aos dois focos
e
. A fórmula da distância entre dois pontos
e
é:
Calculando:
Para
:
Para
:
Passo 4
Sabemos que, em uma elipse, a soma das distâncias de qualquer ponto a seus dois focos é constante e igual a
, onde
é o semieixo maior. Aqui, temos:
Essa informação nos ajuda a relacionar a inclinação da reta tangente no ponto
com os focos.
Passo 5
A equação da reta tangente a uma elipse em um ponto
pode ser encontrada usando a condição de que a soma das projeções das distâncias aos focos seja constante. Isso leva à seguinte fórmula para a reta tangente:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação para obter a forma explícita da reta:
Dividindo todos os termos por 10:
Resposta
A equação cartesiana da reta tangente à elipse no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Plote as seguintes elipses:
Uma elipse
tem foco
, diretriz
e excentricidade
. Determine as coordenadas de seu centro
. Sugestão: Primeiro encontre os vértices sobre a reta focal.
Plote os seguintes planos indicando seu vetor normal:
Plote os seguintes paraboloides: