A elipse C: 5 x^2+4 x y+8 y^2-60 x-168 y=0, tem focos F1(12,5) e F2(-8,15). Usando argumentos geométricos, determine a equação cartesiana da reta tangente à elipse no ponto T(0,21).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma elipse definida pela equação 5x^2 + 4xy + 8y^2 - 60x - 168y = 0, e também os dois focos dessa elipse: F1(12,5) e F2(-8,15). A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à essa elipse no ponto T(0,21). Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre elipses e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que uma reta tangente a uma elipse em um ponto específico tem uma propriedade especial relacionada aos focos da elipse. A soma das distâncias de qualquer ponto da elipse a esses dois focos é constante. No ponto de tangência, essa propriedade nos ajuda a determinar a inclinação da reta tangente.

Passo 3

Vamos calcular as distâncias do ponto T(0,21) aos dois focos F1(12,5) e F2(-8,15). A fórmula da distância entre dois pontos (x1,y1) e (x2,y2) é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Calculando:
Para F1(12,5):
d1 = raiz(12 - 0)^2 + (5 - 21)^2 = raiz144 + 256 = raiz400 = 20
Para F2(-8,15):
d2 = raiz(-8 - 0)^2 + (15 - 21)^2 = raiz64 + 36 = raiz100 = 10

Passo 4

Sabemos que, em uma elipse, a soma das distâncias de qualquer ponto a seus dois focos é constante e igual a 2a, onde a é o semieixo maior. Aqui, temos:
d1 + d2 = 20 + 10 = 30 = 2a implies a = 15
Essa informação nos ajuda a relacionar a inclinação da reta tangente no ponto T(0,21) com os focos.

Passo 5

A equação da reta tangente a uma elipse em um ponto (x0, y0) pode ser encontrada usando a condição de que a soma das projeções das distâncias aos focos seja constante. Isso leva à seguinte fórmula para a reta tangente:
(x - x0)(xF1 - xF2) + (y - y0)(yF1 - yF2)d1 + d2 = 1
Substituindo os valores que temos:
(x - 0)(12 - (-8)) + (y - 21)(5 - 15)20 + 10 = 1
Simplificando:
20x - 10(y - 21)30 = 1

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação para obter a forma explícita da reta:
20x - 10y + 210 = 30
20x - 10y = -180
Dividindo todos os termos por 10:
2x - y = -18

Resposta

A equação cartesiana da reta tangente à elipse no ponto T(0,21) é 2x - y = -18.

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