Plote as seguintes elipses:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para plotar a elipse representada pela equação
. Aqui, estamos lidando com conic sections (seções cônicas), especificamente com elipses. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado nas variáveis
e
para transformar a equação na forma padrão da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar os termos da equação para separar os de
e os de
:
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Pegue o coeficiente de
, que é -4, divida por 2 para obter -2, e então eleve ao quadrado para obter 4. Assim:
Mas como adicionamos 4 na equação, precisamos também ajustar o lado direito:
Passo 4
Fazemos o mesmo para os termos de
. Pegue o coeficiente de
, que é 4, divida por 2 para obter 2, e então eleve ao quadrado para obter 4. Assim:
Adicionando 4 na equação:
Passo 5
Agora, simplificamos o lado direito da equação:
Para colocar na forma padrão da elipse, dividimos todos os termos por 8:
Passo 6
Prontinho! Agora temos a equação da elipse na forma padrão:
Isso nos mostra que a elipse está centralizada no ponto (2, -2). Os denominadores 8 indicam os semi-eixos da elipse. Como os denominadores são iguais, na verdade, essa é uma circunferência com raio
.
Resposta
A elipse pode ser plotada usando a forma padrão
, centrada no ponto (2, -2) com raio
.
Exercícios relacionados
Uma elipse
tem foco
, diretriz
e excentricidade
. Determine as coordenadas de seu centro
. Sugestão: Primeiro encontre os vértices sobre a reta focal.
Decida se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa.
Se , o versor de
é
.
Se
A elipse
, tem focos
e
. Usando argumentos geométricos, determine a equação cartesiana da reta tangente à elipse no ponto
.
Plote os seguintes planos indicando seu vetor normal: