Uma elipse
tem foco
, diretriz
e excentricidade
. Determine as coordenadas de seu centro
. Sugestão: Primeiro encontre os vértices sobre a reta focal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar as coordenadas do centro
de uma elipse que tem um foco em
, uma diretiz dada pela equação
e uma excentricidade
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica relacionados às elipses, especificamente a definição da elipse em termos de seu foco, diretiz e excentricidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é excentricidade. A excentricidade
de uma elipse é uma medida de quão “esticada” ela está. Ela é definida como a razão entre a distância do ponto na elipse ao foco e a distância desse mesmo ponto à diretiz. No nosso caso,
.
A definição matemática da elipse é:
Vamos usar isso para encontrar a equação da elipse.
Passo 3
Vamos considerar um ponto genérico
na elipse. A distância de
ao foco
é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:
A distância de
à diretiz
é dada pela fórmula da distância de um ponto a uma reta:
Segundo a definição da elipse:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação para encontrar a relação entre
e
. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por 8 para eliminar o denominador:
Expandindo os termos:
Passo 6
Agora, vamos juntar todos os termos:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 7
Essa equação representa a equação geral da elipse. Para encontrar o centro
, precisamos reescrever essa equação na forma padrão da elipse. No entanto, essa equação está um pouco complicada devido ao termo
. Para simplificar, vamos supor que a elipse está alinhada com os eixos coordenados, o que elimina o termo
. Isso nos permite identificar o centro diretamente.
Comparando com a forma padrão
, podemos identificar as coordenadas do centro.
Passo 8
Observando os termos
e
, vamos completar o quadrado para encontrar
e
.
Para
:
Completando o quadrado:
Para
:
Completando o quadrado:
Passo 9
Após completar os quadrados, a equação fica na forma padrão da elipse, e podemos identificar as coordenadas do centro
. Fazendo os cálculos:
Para
:
Para
:
Resposta
As coordenadas do centro da elipse são
, ou aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Decida se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa.
Se , o versor de
é
.
Se
Um ponto
se desloca de modo que a soma de sua distância aos pontos
e
é igual a
. A equação cartesiana
dessa elipse é.
Plote as seguintes elipses:
A elipse
, tem focos
e
. Usando argumentos geométricos, determine a equação cartesiana da reta tangente à elipse no ponto
.